Sovelluksia 1

Suorita MAA6-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.

Derivaatan sovellustehtävissä pyritään muodostamaan lauseke kysytylle asialle yhden muuttujan avulla.

Esimerkki 1

Rautalangasta muotoillaan suorakulmion muotoinen kehys, jonka pinta-ala halutaan mahdollisimman suureksi. Rautalankaa on käytössä 40 cm. Mitkä ovat kehyksen mitat?

Ratkaisu

Hahmotellaan tilanne ja muodostetaan pinta-alalle lauseke. 

Suorakulmion pinta-ala on A=xy. Jotta voimme derivoida tämän tulee siinä olla vain yksi muuttuja. Piiri on 40 cm, joten

2x+2x=40, josta saadaan y=20-x

Nyt pinta-alan lauseke on

Pinta-alan lausekkeen kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten suurimman arvon se saa huipussaan, eli derivaatan nollakohdassa. 

Kehyksen pinta-ala on suurin, kun sivun pituus on 10 cm, eli kehyksestä tulee neliö.

Esimerkki 2

Liisa-Petterin rautatieyhtiö Vetelät runoilijat, lyhyemmin VR, suunnitteli lippuhintojen muuttamista. Peruslippu maksoi 10€ ja matkustajia oli päivässä 1200. Konsulttiyhtiö Kaikki rahat putsataan, lyhyemmin KRP, johtajansa Klaus-Heidin johdolla oli tehnyt tutkimuksen, jonka mukaan euron hinnankorotus vähensi matkustajia 50 päivässä. Vastaavasti euron hinnan alennus lisäsi matkustajia 50 päivässä. Mikä kannattaisi asettaa tällöin lipun hinnaksi, että päivämyynnin arvo olisi suurimmillaan?

Ratkaisu

Muodostetaan lauseke päivämyynnille. 

Merkitään euron hinnankorotuksia muuttujalla x, tällöin lipun hinta on 10+x ja matkustajien määrä 1200-50x

Päivämyynti

Päivämyynnin lausekkeen kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli ja suurimman arvonsa se saa huipussa, eli derivaatan nollakohdassa

Eli, kun lipun hinta on 10€+7€=17€ on päivämyynnin arvo suurin. Tällöin matkustajia on 850 ja päivämyynnin arvo 14450€

Harjoituksia

Vihje

5000+100x kuinka paljon tällöin tarvitaan jäähdyttelyaikaa?

2. Liisa-Petterillä oli tontti, jonka leveys oli 100 metriä ja pituus 80 metriä. Tontin kahdelle sivulle hän halusi rakentaa yhteneväisen uima-altaan, siten että hän ostaisi tonttiinsa lisää pituutta, mutta leveydestä uima-altaaseen menisi olemassaolevasta tontista. Altaan leveys tuli olla sama joka kohdassa. Samalla hän halusi saada mahdollisimman suuren pinta-alan koko tontille. Kuinka leveä allas tulisi rakentaa?

Vihje

Pituutta lisää ja leveydestä pois

3. Liisa-Petteri suunnitteli taloonsa vessaa. Vessan muodon tuli olla kolmio, jonka kannan ja korkeuden summa oli 20 metriä. Hän halusi pinta-alaltaan mahdollisimman suuren vessan. Kuinka suuri on suurin mahdollinen pinta-ala annetuilla rajoituksilla?

Vihje

Kanta kertaa korkeus jaettuna kahdella

4. Klaus-Heidi rakensi kylpylää keräämilleen kävyille. Hän rakensi suorakulmion muotoisen altaan, joka erotettaisiin kahdella väliseinällä kolmeksi eri altaaksi. Seinämateriaalia hänellä oli käytössään 20 metriä. Mitkä ovat altaan mitat, kun pinta-alan tulisi olla mahdollisimman suuri?

Vihje

Merkitse väliseinien suuntaisia seiniä x. Mikä on tällöin toisen suuntaiset seinät?

5. Liisa-Petteri teki maakauppoja naapurinsa kanssa. Hän vaihtaisi tonttinsa leveydestä kaistaleen maata ja saisi saman levyisen kaistaleen naapurilta. Naapurilta saatu maa tulisi Liisa-Petterin tontin pituuteen. Liisa-Petterin tontin mitat ovat leveys 120 metriä ja pituus 90 metriä. Kuinka leveä kaistale tulisi olla, että Liisa-Petterin tontin pinta-ala olisi mahdollisimman suuri?

Vihje

Leveydestä pois ja pituutta lisää

6. Liisa-Petterin bisnekset sujuivat hyvin ja kuntokin oli vallan mainio. Voisi sanoa, että oli hänen elämänsä onnellisin päivä. Torikojuaan "Uhanalaisia eläimiä ruokapöytään" miettiessään hän tuli seuraavanlaiseen tulokseen. Yhdellä mainoksella peräsanomissa sai hän yhden asiakkaan lisää, mutta mainoksen hinta syö voittoa siten, että lihan kilohinnasta saa kaksi euroa vähemmän voittoa. Ilman mainostamista päivässä käy 30 asiakasta ja lihasta jää keskimäärin 80€/kg voittoa. Yksi asiakas ostaa keskimäärin yhden kilon lihaa. Kannattaako Liisa-Petterin mainostaa? Jos kannattaa, kuinka monella mainoksella hän saisi suurimman päivätuoton?

Vihje

Päivätuotta = asiakkaat * voitto

7. Liisa-Petteri sai töitä paikallisesta pubista Lävistetystä lahnasta. Hän sopi omistajan kanssa, että tekisi joka päivä töitä yhtä monta tuntia kuin Liisa-Petterillä oli lävistyksiä. Liisa-Petterillä oli tällä hetkellä 10 lävistystä ja tuntipalkaksi sovittiin 28 €. Sovittiin myös, että jokainen uusi lävistys alentaa tuntipalkkaa kahdella eurolla. Liisa-Petteri haluaa tienata mahdollisimman paljon. Tuntimäärällä ei ole väliä. Kannattaako Liisa-Petterin hankkia lisää lävistyksiä?

Vihje

Kuinka monta tuntia voi tehdä kaikkiaan töitä?

8. Liisa-Petteri haluaa aidata joen rantaan 3200 neliömetrin laajuisen suorakulmion muotoisen alueen. Määritä alueen mitat siten että aitauksen kolmeen sivuun kuluu mahdollisimman vähän aitaa. Joki toimii yhtenä sivuna.

Vihje

Merkitse sivut x ja y. Mikä on näiden avulla pinta-ala?

9. Liisa-Petterin tuleva uima-allas on suorakulmion muotoinen. Sitä ympäröi laatoitus, jonka leveys uima-altaan molemmilla sivuilla on 2,0 metriä ja päädyissä 3,0 metriä. Määritä uima-altaan mitat, kun altaan pinta-ala on 600 neliömetriä ja ympyröivän laatoituksen ala on mahdollisimman pieni.

Vihje

Merkitse altaan mittoja x ja y. Ilmoita näiden avulla altaan pinta-ala sekä altaan + laatoituksen pinta-ala.

10. Tulta syöksevät lohikäärmeet Draco ja Nid vartioivat solaa, ja solassa kulkeva joutuu menemään niiden välistä. Lohikäärmeiden välinen etäisyys on 200 kyynärää. Tulisuihkun vaikutus on suoraan verrannollinen lohikäärmeen kokoon ja kääntäen verrannollinen lohikäärmeestä mitatun etäisyyden kolmanteen potenssiin. Draco on kaksi kertaa niin suuri kuin Nid. Mistä kohtaa lohikäärmeiden välistä kulkijan on vaellettava, jotta hän selviäisi mahdollisimman vähällä? Anna vastaus kyynärän tarkkuudella.

YO 2006 kevät

Vihje

Merkitse etäisyys Dracosta x. Muodosta tulisuihkun vaikutus molempiin lohikäärmeisiin tästä kohdasta. 

Osion perustehtävät