Sovelluksia 1

Esimerkki 1

Rautalangasta muotoillaan suorakulmion muotoinen kehys, jonka pinta-ala halutaan mahdollisimman suureksi. Rautalankaa on käytössä 40 cm. Mitkä ovat kehyksen mitat?

Ratkaisu

Hahmotellaan tilanne ja muodostetaan pinta-alalle lauseke. 

Esimerkki 2

Liisa-Petterin rautatieyhtiö Vetelät runoilijat, lyhyemmin VR, suunnitteli lippuhintojen muuttamista. Peruslippu maksoi 10€ ja matkustajia oli päivässä 1200. Konsulttiyhtiö Kaikki rahat putsataan, lyhyemmin KRP, johtajansa Klaus-Heidin johdolla oli tehnyt tutkimuksen, jonka mukaan euron hinnankorotus vähensi matkustajia 50 päivässä. Vastaavasti euron hinnan alennus lisäsi matkustajia 50 päivässä. Mikä kannattaisi asettaa tällöin lipun hinnaksi, että päivämyynnin arvo olisi suurimmillaan?

Ratkaisu

Muodostetaan lauseke päivämyynnille. 

Merkitään euron hinnankorotuksia muuttujalla x, tällöin lipun hinta on 10+x ja matkustajien määrä 1200-50x

Päivämyynti

1. Jos Liisa-Petterin setelikoneen käyntiä nopeutetaan, niin kone kuumenee nopeammin ja se joudutaan sulkemaan useammin jäähdytyksen ajaksi. Kone oli säädetty painamaan 5000 seteliä tunnissa ja se toimi vuorokaudessa 20 tuntia.  Jos setelien painomäärää lisätään 100 setelillä, tarvitaan 15 minuuttia lisää jäähdyttelyaikaa. Mikä olisi nopeus, jolla painettujen setelien määrä olisi mahdollisimman suuri vuorokautta kohden? Kuinka suuri tuo määrä olisi?

2. Liisa-Petterillä oli tontti, jonka leveys oli 100 metriä ja pituus 80 metriä. Tontin kahdelle sivulle hän halusi rakentaa yhteneväisen uima-altaan, siten että hän ostaisi tonttiinsa lisää pituutta, mutta leveydestä uima-altaaseen menisi olemassaolevasta tontista. Altaan leveys tuli olla sama joka kohdassa. Samalla hän halusi saada mahdollisimman suuren pinta-alan koko tontille. Kuinka leveä allas tulisi rakentaa?

3. Liisa-Petteri suunnitteli taloonsa vessaa. Vessan muodon tuli olla kolmio, jonka kannan ja korkeuden summa oli 20 metriä. Hän halusi pinta-alaltaan mahdollisimman suuren vessan. Kuinka suuri on suurin mahdollinen pinta-ala annetuilla rajoituksilla?

4. Klaus-Heidi rakensi kylpylää keräämilleen kävyille. Hän rakensi suorakulmion muotoisen altaan, joka erotettaisiin kahdella väliseinällä kolmeksi eri altaaksi. Seinämateriaalia hänellä oli käytössään 20 metriä. Mitkä ovat altaan mitat, kun pinta-alan tulisi olla mahdollisimman suuri?

5. Liisa-Petteri teki maakauppoja naapurinsa kanssa. Hän vaihtaisi tonttinsa leveydestä kaistaleen maata ja saisi saman levyisen kaistaleen naapurilta. Naapurilta saatu maa tulisi Liisa-Petterin tontin pituuteen. Liisa-Petterin tontin mitat ovat leveys 120 metriä ja pituus 90 metriä. Kuinka leveä kaistale tulisi olla, että Liisa-Petterin tontin pinta-ala olisi mahdollisimman suuri?

6. Liisa-Petterin bisnekset sujuivat hyvin ja kuntokin oli vallan mainio. Voisi sanoa, että oli hänen elämänsä onnellisin päivä. Torikojuaan "Uhanalaisia eläimiä ruokapöytään" miettiessään hän tuli seuraavanlaiseen tulokseen. Yhdellä mainoksella peräsanomissa sai hän yhden asiakkaan lisää, mutta mainoksen hinta syö voittoa siten, että lihan kilohinnasta saa kaksi euroa vähemmän voittoa. Ilman mainostamista päivässä käy 30 asiakasta ja lihasta jää keskimäärin 80€/kg voittoa. Yksi asiakas ostaa keskimäärin yhden kilon lihaa. Kannattaako Liisa-Petterin mainostaa? Jos kannattaa, kuinka monella mainoksella hän saisi suurimman päivätuoton?

7. Liisa-Petteri sai töitä paikallisesta pubista Lävistetystä lahnasta. Hän sopi omistajan kanssa, että tekisi joka päivä töitä yhtä monta tuntia kuin Liisa-Petterillä oli lävistyksiä. Liisa-Petterillä oli tällä hetkellä 10 lävistystä ja tuntipalkaksi sovittiin 28 €. Sovittiin myös, että jokainen uusi lävistys alentaa tuntipalkkaa kahdella eurolla. Liisa-Petteri haluaa tienata mahdollisimman paljon. Tuntimäärällä ei ole väliä. Kannattaako Liisa-Petterin hankkia lisää lävistyksiä?

8. Liisa-Petteri haluaa aidata joen rantaan 3200 neliömetrin laajuisen suorakulmion muotoisen alueen. Määritä alueen mitat siten että aitauksen kolmeen sivuun kuluu mahdollisimman vähän aitaa. Joki toimii yhtenä sivuna.

9. Liisa-Petterin tuleva uima-allas on suorakulmion muotoinen. Sitä ympäröi laatoitus, jonka leveys uima-altaan molemmilla sivuilla on 2,0 metriä ja päädyissä 3,0 metriä. Määritä uima-altaan mitat, kun altaan pinta-ala on 600 neliömetriä ja ympyröivän laatoituksen ala on mahdollisimman pieni.

10. Tulta syöksevät lohikäärmeet Draco ja Nid vartioivat solaa, ja solassa kulkeva joutuu menemään niiden välistä. Lohikäärmeiden välinen etäisyys on 200 kyynärää. Tulisuihkun vaikutus on suoraan verrannollinen lohikäärmeen kokoon ja kääntäen verrannollinen lohikäärmeestä mitatun etäisyyden kolmanteen potenssiin. Draco on kaksi kertaa niin suuri kuin Nid. Mistä kohtaa lohikäärmeiden välistä kulkijan on vaellettava, jotta hän selviäisi mahdollisimman vähällä? Anna vastaus kyynärän tarkkuudella.

YO 2006 kevät