Trigonometristen funktioiden derivaatat
Suorita MAA6-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.
Sinin derivaatta on kosini ja kosinin derivaatta on miinus sini, eli D sin(x)=cos(x) ja D cos(x)=-sin(x)
sin(x)
D sin(x)
cos(x)
D cos(x)
Esimerkki 1
Määritetään funktioiden derivaattafunktiot
Derivaatat ovat
Esimerkki 2
Määritä derivaatan arvo kohdassa 𝜋
Funktio koostuu kahden funktion tulosta. Käytetään tulon derivoimiskaavaa
Sijoitetaan derivaattaan 𝜋
Esimerkki 3
Määritä derivaattafunktion nollakohdat
Derivoidaan
Nollakohdat
missä n on jokin kokonaisluku.
Esimerkki 4
Määritä funktion ääriarvot
Derivoidaan funktio. Sinin derivaatta on kosini ja kosinin derivaatta on miinus sini. Lisäksi funktiossa termi, jossa on kosinin neliö on yhdistetty funktio.
Nollakohdat
Kosini on nolla kulmilla
Sini on yksi kulmilla
Derivaatta on positiivinen aina ennen 𝜋/2 kulman määräämiä nollakohtia ja negatiivinen tämän jälkeen ennen 3𝜋/2 määräämiä nollakohtia
g'(0)=2
g'(𝜋)=-2
Joten kohdissa 𝜋/2 + n2𝜋 funktiolla on maksimikohdat ja kohdissa 3𝜋 /2 + n2𝜋 funktiolla on minimikohdat.
Ääriarvot
Kuvassa funktion g(x) kuvaaja vihreänä ja derivaatan g'(x) kuvaaja punaisena.
Tangentin derivaatta
Tangentti määriteltiin
Tällöin tangentin derivaatta saadaan osamäärän derivoimissäännön avulla
Tangentin derivaatta ei ole määritelty kosinin nollakohdissa. Aivan kuten tangenttikaan.
Harjoituksia
1. Derivoi
Vihje
B-kohdassa yhdistetty funktio
2. Derivoi
Vihje
Tulon derivaatta a-kohdassa
3. Laske derivaatan arvo kohdassa π
Vihje
Yhdistetty funktio
4. Määritä funktion kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin kohdassa π/4
Vihje
f'(π/4)
5. Derivoi
Vihje
Muuta potenssimuotoon
6. Derivoi
Vihje
Osamäärän derivaatta
7. Funktion f kuvaajalle piirretään tangentti ja normaali kohtaan, jossa kuvaaja leikkaa y-akselin. Määritä tangentin sekä normaalin yhtälöt.
Vihje
Tangentin ja normaalin kulmakertoimien tulo on -1
8. Määritä funktion suurin ja pienin arvo välillä [0,π]
Vihje
Yhteinen tekijä, kun määrität derivaatan nollakohtia
9. Määritä vakiot a ja b siten että f(π/4)=7/2 ja f'(π/4)=-3
Vihje
Yhtälöpari
10. Määritä funktion ääriarvokohdat ja ääriarvot välillä [0,π]
Vihje
Huomaa yhdistetty funktio derivoidessa
11. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio f(x) = a sin x + b täyttää ehdot f(0) = 1, f'(0) = 2.
YO kevät 1973
Vihje
Derivoi ja sijoita
12. Laske funktion sin6 x + cos6x suurin ja pienin arvo.
YO kevät 1973
Vihje
Yhteinen tekijä derivaatasta