Erotusosamäärän
raja-arvo
Suorita MAA6-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.
Funktion muutosnopeudessa selvitettiin, että keskimääräinen muutosnopeus välillä [a,b] on
Tämän avulla voimme tutkia hetkellistä muutosnopeutta kohdassa a, kun viemme luvun b äärimmäisen lähelle lukua a. Eli haemme raja-arvon, kun b lähestyy lukua a.
Esimerkki 1
Määritetään funktion f hetkellinen muutosnopeus kohdassa 4
Valitaan funktion kuvaajalta piste B, joka on pisteen A jälkeen. Merkitään tätä kohtaa kirjaimella x. Pisteen y-koordinaatti on tällöin f(x).
Tuodaan piste mahdollisimman lähelle pistettä A
Lasketaan muutamia arvoja eri x:n arvoilla lähellä pistettä 4.
Kun x lähestyy lukua 4, muutosnopeuden arvot näyttäisivät lähestyvän arvoa 6. Määritetään muutosnopeuden raja-arvo, kun x lähestyy lukua 4.
Tällöin saamme tangentin kulmakertoimen kohdassa 4
Hetkellinen muutosnopeus kohdassa 4 on siis 6. Tämä on funktion derivaatta kohdassa 4.
Funktion f derivaatta kohdassa a
Funktion f (x) derivaattaa merkitään f ' (x)
Mikäli kyseinen raja-arvo on olemassa, funktio on derivoituva kohdassa a. Tätä kutsutaan erotusosamäärän raja-arvoksi.
Esimerkki 2
Määritä funktion g derivaatta kohdassa 2.
Ratkaisu
Määritetään erotusosamäärän raja-arvo kohdassa 2
Funktion g derivaatta kohdassa 2 on -1.
Esimerkki 3
Määritä f ' (2), kun
Ratkaisu
Määritetään erotusosamäärän raja-arvo kohdassa 2.
Huomioita ratkaisusta:
Lavennetaan osoittajassa olevat murtoluvut samannimisiksi.
Murtolukujen jakolasku: Muutetaan kertolaskuksi
2 – x = -(x – 2)
Esimerkki 4
Määritä f ' (7), kun
Ratkaisu
Funktio on määritelty, kun x + 2 ≥ 0, josta x ≥ -2
Lasketaan erotusosamäärän raja-arvo kohdassa 7.
Huomioita ratkaisusta:
Käytetään apuna muistikaavaa neliöiden erotus:
(a – b)(a + b)=a² – b²
Eli lavennetaan murtolauseke osoittajaa vastaavalla summalausekkeella. Näin saamme osoittajaan neliöiden erotuksen ja pääsemme eroon neliöjuuresta.
Toinen esitystapa
Erotusosamäärän raja-arvo määriteltiin keskimääräisen muutosnopeuden kautta, kun b viedään äärimmäisen lähelle kohtaa a.
Jos merkitsemme väliä b - a = h
Tällöin saamme funktion pisteiksi (x,f(x)) ja (x+h,f(x+h))
Kun nyt viemme vakion h äärimmäisen lähelle nollaa, saamme derivaatan. Nyt erotusosamäärän muoto olisi
Tämä on toinen muoto erotusosamäärän raja-arvolle.
Esimerkki 5
Määriä f ' (1) käyttäen toista esitystapaa erotusosamäärän raja-arvolle, kun
Ratkaisu
Harjoituksia
1. Määritä f ' (0) ja f ' (2), kun
Vihje
Erotusosamäärän raja-arvo kohdassa 0 ja 2
2. Määritä f ' (-2) ja f ' (3), kun
Vihje
Erotusosamäärän raja-arvo kohdassa -2 ja 3
3. Määritä f ' (-3) ja f ' (3), kun
Vihje
Erotusosamäärän raja-arvo kohdassa -3 ja 3
4. Määritä derivaatan arvot kohdissa -2,0 ja 1
Vihje
Sievennä ensin osoittaja
5. Määritä derivaatan arvot kohdissa 2 ja 3
Vihje
Lavenna sopivasti, että saat osoittajaan neliöiden erotuksen.
6. Määritä derivaatan arvo kohdassa 2, kun
Vihje
Sievennä ensin osoittaja
7. Määritä f ' (a) ja g ' (a) ja päättele tuloksen perusteella f ' (3) ja g ' (2)
Vihje
Voisiko a olla mikä tahansa luku?
8. Määritä derivaatan arvo kohdassa 1, kun
Vihje
MAA2 Korkeamman asteen yhtälöt
Erityisesti Extra-kappale
9. Määritä derivaatan arvo kohdassa 1, kun
Vihje
Sievennä osoittaja aluksi
10. Määritä derivaatta kohdassa 1, kun
Vihje
Sievennä ensin osoittaja
