Raja-arvo äärettömyydessä

Päättele funktion f(x) kuvan funktion raja-arvot lähestyttäessä 

Kuvaajasta nähdään, että muuttujan x arvojen kasvaessa rajatta, funktion arvot lähenevät koko ajan arvoa 3 sitä koskaa saavuttamatta. Vastaavasti pienentyessä rajatta, funktion arvot lähenevät arvoa 0 sitä koskaan saavuttamatta. 

Rationaalifunktion raja-arvo äärettömyydessä

Jos n on positiivinen kokonaisluku, a vakio ja

Seuraavissa esimerkeissä 1. ja 2. nähdään, kuinka edellä olevan  kaltaisten funktioiden avulla voidaan päätellä jokaisen rationaalifunktin raja-arvo muuttujan arvojen suurentuessa tai pienentyessä rajatta. 

Esimerkki 1

Ratkaise rationaalifunktion f raja-arvo kun x suurenee ja pienenee rajatta sekä määritä rationaalifunktion vaakasuora asymptootti. 

Otetaan sekä osoittajan, että nimittäjän yhteiseksi tekijäksi se nimittäjän (alakerran) kirjainosa, millä on suurin potenssi. Tässä tapauksessa x² ja ratkaistaan raja-arvo muuttujan arvojen suurentuessa rajatta. 

Funktion f(x) raja-arvo on 3, kun muuttujan arvot suurenevat rajatta. Rationaalifunktion raja-arvo lähestyy samaa arvoa 3 myös muuttujan arvojen pienentyessä rajatta. Koska raja-arvo on sama muuttujan arvojen suurentuessa tai pienentyessä rajatta, kuvaaja lähestyy suoraa y = 3. Suoraa y = 3 kutsutaan funkion vaakasuoraksi asymptootiksi. 

Esimerkki 2

Ratkaise funktioiden f ja g raja-arvot, kun muuttujan arvot suurenevat tai pienenevät rajatta. 

a) Otetaan osoittajan ja nimittäjän yhteiseksi tekijäksi nimittäjän korkein potenssi x².

Myös muuttujan arvojen pienentyessä rajatta raja-arvo on 0. Funktiolla f on sama raja-arvo 0 funktion arvojan pienentyessä tai suurentuessa rajatta.

b) Otetaan osoittajan ja nimittäjän yhteiseksi tekijäksi nimittäjän korkein potenssi x². 

Funktion arvot lähestyvät negatiivista äärettömyyttä, kun muuttujan arvot suurenevat rajatta.

Funktion arvot lähestyvät positiivista äärettömyyttä muuttujan arvojen pienentyessä rajatta. Funktiolle g ei ole raja-arvoa muuttujan arvojen suurentuessa tai pienentyessä rajatta. 

Eksponenttifunktion raja-arvo äärettömyydessä

Tarkastellaan eksponenttifunktion f käyttäytymistä, kun muuttuja x suurenee tai pienenee rajatta.

Muista seuraavat potenssin laskusäännöt. Kun n > 0, niin

Osamäärän potenssi

Negatiivinen eksponentti:

Esimerkki 3

Ratkaise funktioiden raja-arvot kun muuttujan arvot suurenevat ja pienenevät rajatta. 

a) Tiedetään, että 

Otetaan sekä osoittajasta että nimittäjästä yhteinen tekijä ja ratkaistaan raja-arvo, kun muuttujan arvot suurenevat rajatta 

Vastaavasti muuttujan arvojen pienentyessä rajatta

Funktiolla f on raja-arvo kun muuttujan arvot suurenevat rajatta ja se on 1/2. Muuttujan arvojen pienentyessä rajatta, raja-arvoa ei ole. 

b) Kun muuttujan arvot suurenevat rajatta 

Kun muuttujan arvot pienenevät rajatta

Funktiolla g on raja-arvo 0 muuttujan arvojen suurentuessa rajatta. Muuttujan arvojen pienentyessä rajatta, raja-arvoa ei ole. 

Esimerkki 4

Määritä

a) Koska x suurenee rajatta, voidaan olettaa, että x > 0.

Neliöjuuren laskusääntöjen mukaan

Koska muuttujan x arvot pienenevät rajatta, voidaan olettaa, että x < 0. Neliöjuuri x² on yhtäsuurta kuin muuttujan x itseisarvo, joten 

Esimerkki 5

Ratkaise funktion f suurin ja pienin arvo sekä vaakasuora asymptootti. 

Koska funktion nimittäjä on kaikilla muuttujan x arvoilla positiivinen, on funktio määritelty kaikilla reaaliluvuilla.

Funktion mahdolliset ääriarvot löytyvät derivaatan nollakohdista. Derivoidaan funktio 

Rationaalifunktion nimittäjä on erisuurta kuin nolla kaikilla muuttujan arvoilla, joten f'(x) = 0 sen osoittaja nollakohdissa. Ratkaistaan derivaatan nollakohdat. 

tulon nollasäännön mukaan, kun x = -1 tai x = 5.

Tutkitaan seuraavaksi funktion kulkua merkki- ja kulkukaavion avulla

Merkki- ja kulkukaaviosta nähdään, että funktio saa paikallisen minimiarvon kohdassa x = -1 ja paikallisen maksimiarvon kohdassa x = 5. 

Funktion pienin arvo on -1, jos funktion raja-arvo ei laske alle arvon -1 muuttujan arvojen kasvaessa rajatta. Samoin funktion suurin arvon 5, jos funktion arvot eivät suurene yli arvon 5 muuttujan arvojen pienentyessä rajatta. 

Funktion arvot lähenevät arvoa 4 myös muuttujan arvojen pienentyessä rajatta, joten

Vastaus: Funktion f suurin arvo on 5 ja pienin arvo -1 sekä funktiolla on vaakasuora asymptootti y = 4.

Geogebralla piirretty havainnekuva 

Esimerkki 6

Määritä funktion f suurin ja pienin arvo jos se on mahdollista 

Funktio f on polynomifunktio ja kaikkialla määritelty sekä jatkuva. Ratkaistaan tehtävä geogebran avulla. Haetaan ensin geogebralla derivaattafunktion nollakohdat.

Muodostetaan merkki- ja kulkukaavio 

Ratkaistaan geogebralla funktion raja-arvot muuttujan arvojen kasvaessa tai pienentyessä rajatta.

Havaitaan, että funktio kasvaa rajatta kun muuttujan arvot pienenevät tai kasvavat rajatta. Tästä syystä sille ei voida määrittää suurinta arvoa. Pienin arvo voidaan määrittää ja se löytyy kulkukaavion mukaan joko kohdasta x = -2 tai x = 2. Laskimella saadaan selville, että 

Vastaus: Funktiolle ei voida määrittää suurinta arvoa, mutta sen pienin arvo on -50/3 

Epäoleellinen raja-arvo

Jos lähestyttäessä kohtaa x = a (sekä oikealta, että vasemmalta), funktion arvot joko suurenevat rajatta tai pienenevät rajatta, sanotaan, että funktiolla on epäoleellinen raja-arvo kohdassa a.

Epäoleellinen raja-arvo on ääretön, kun 

ja epäoleellinen raja arvo on negatiivinen ääretön, kun

Esimerkki 7

Ratkaise alla olevaa kuvaa apuna käyttäen, että onko funktiolla f(x) raja-arvo tai epäoleellinen raja-arvo kohdassa

a) x = -2

b) x = 0

c) x = 2 

Sievennetään funktion lauseketta

Funktiolla on raja-arvo 0 kohdassa x = -2.

Funktiolle ei voi määrittää raja-arvoa kohdassa x = 0. Kuvasta voidaan päätellä, että kohdan x = 0 ympärillä funktion arvot pienenevät molemmin puolin rajatta . Varmistetaan asia geogebralla 

funktiolla on epäoleellinen integraali -∞ kohdassa x = 0.

Funktiolle ei voi määrittää raja-arvoa kohdassa x = 2. Kuvasta voidaan päätellä, että funktion oikeanpuoleinen raja-arvo lähestyttäessä kohtaa x = 2 on positiivinen ääretön ja vasemmanpuoleinen negatiivinen ääretön. Varmistetaan asia geogebralla. 

funktiolla ei ole myöskään epäoleellista raja-arvoa kohdassa x = 2.

Raja-arvoja äärettömyydessä

Oletetaan, että f(x) → ∞ ja g(x) → ∞. Oletetaan myös että a > 0.

Tilanteissa joissa päädytään tapauksiin

päätelmää ei voida tehdä, ennen kun lauseketta on sievennetty parempaan muotoon. 

Harjoituksia

lähenee rajattomasti suoraa y = x, kun x → ∞.