Yhdenmuotoisuus

Suorita MAA3-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.

Kaksi kuviota ovat keskenään yhdenmuotoiset mikäli ne on saatu toisistaan suurentamalla, pienentämällä, kääntämällä tai peilaamalla.

Yläpuoliset kuviot ovat yhdenmuotoiset. Yhdenmuotoisissa kuvioissa vastinsivujen suhde säilyy.

Mikäli sivun pituus puolittuu, puolittuu jokaisen sivun pituus. Mikäli sivun pituus tulee kaksinkertaiseksi, tulee jokaisen sivun pituus kaksinkertaiseksi. Vastinsivujen (pituuksien) suhdetta kutsutaan mittakaavaksi ja sitä merkitään kirjaimella k.

Esimerkki 1

Alapuoliset kuviot ovat yhdenmuotoiset. Määritä sivun b pituus.

Koska kuviot ovat yhdenmuotoiset, vastinsivujen suhteet säilyvät.

Yhdenmuotoiset kolmiot

Kolmiot ovat yhdenmuotoisia, mikäli kolmioilla on kaksi yhtä suurta kulmaa.

Esimerkki 2

Määritä sivun x pituus

Kolmiot ovat yhdenmuotoisia, sillä niillä on kaksi yhtä suurta kulmaa. Vastinsivujen suhteet säilyvät.

Mittakaava

Kartat ovat yhdenmuotoisia luonnon kanssa. Ja toisten karttojen kanssa myös. Kartoissa ilmoitetaan mittakaava, joka on pituuksien suhden. Jos mittakaava on 1:50000, tarkoittaa tämä, että kun kartalta mitataan 1 cm vastaa sitä luonnossa pituus 50000 cm.

Esimerkki 3

Kartan mittakaava on 1:20000. Kartalla mitattu pituus on 10 cm. Mikä on vastaava pituus luonnossa? 

Merkitään luonnossa olevaa pituutta kirjaimella x.

Nyt voimme merkitä verrannon ja ratkaista muuttuja x ristiinkertomalla.

Luonnossa pituutta vastaa siis 200 000 cm joka on 2 km.

Pinta-ala ja tilavuus

Pinta-alojen suhde on mittakaava toiseen ja tilavuuksien suhde on mittakaava kolmanteen.

Mittakaava tarkoitti pituuksien suhdetta.

Esimerkki 4

Alapuoliset kuviot ovat yhdenmuotoiset. Mikä on pienemmän kuvion pinta-ala?

Pinta-alojen suhde on pituuksien suhde (mittakaava) toiseen. Merkitään pienemmän kuvion pinta-alaa  Ap.

Esimerkki 5

Omakotitalon ja pihamökin seinät ovat yhdenmuotoiset. Omakotitalon seinä on 7,0 metriä pitkä ja sen maalaamiseen kului 11,0 litraa. Pihamökin seinä on 2,2 metriä pitkä. Kuinka paljon pihamökin seinän maalaamiseen kuluu maalia, kun molemmat seinät maalataan samalla tavalla?

Ratkaisu

Maali levitetään seinälle, eli seinän pinta-ala on suoraan verrannollinen maalin määrään. Pinta-alojen suhde on taas pituuksien suhde toiseen. Merkitään pihamökin seinään tarvittavaa maalimäärää A.

Saadaan verranto

Maalia kuluu siis 1,1 litraa pihamökin seinään.

Harjoituksia

1. Suorakulmion muotoinen kuva pienennetään kopiokoneessa siten, että sen ala pienenee 36 %. Alkuperäisen suorakulmion lyhyemmän sivun pituus oli 8,0 cm. Kuinka pitkä on kopion lyhyempi sivu? 

Vihje

Pituuksien suhde toiseen on pinta-alojen suhde.

2. Taidemaalarit käyttävät joskus ns. kultaista suorakulmiota, joka täyttää ehdon: Kun suorakulmiosta erotetaan lyhyemmän sivun suuntaisesti neliö, niin jäljelle jäävä suorakulmio on yhdenmuotoinen alkuperäisen suorakulmion kanssa. Jos kultaisen suorakulmion pitemmän sivun pituus on 1 metri, mikä on lyhyemmän sivun pituus? (Vastaus millimetrin tarkkuudella).

Vihje

Merkitse neliön sivua x, joka on myös jäljelle jäävän suorakulmion pitempi sivu.

3. Juomaa myydään puolen litran ja puolentoista litran pulloissa. Pullot ovat samanmuotoiset. Isomman pullon korkeus on 34 cm. Laske pienemmän pullon korkeus. 

Vihje

Tilavuuksien suhde on pituuksien suhde kolmanteen.

4. Kuva pienennetään kopiokoneessa (suhteet säilyttäen) siten, että erään sivun pituus pienenee 12 cm:stä 4,0 cm:iin. Kuinka monta prosenttia kuvan ala pienenee?

Vihje

Alojen suhde on pituuksien suhde toiseen.

5. Kaksi yhdenmuotoista tulostetta on tehty samasta alkuperäiskuvasta. Suurempi tuloste on 20 cm korkea ja 12 cm leveä, ja sen pinta-ala on 16 kertaa niin suuri kuin pienemmän. Laske pienemmän tulosteen korkeus ja leveys.


Vihje

Ratkaise pituuksien suhde pinta-alojen avulla.

6. Jalallisen cocktaillasin sisätila on kärjellään seisova suora ympyräkartio, jonka tilavuus on 2,2 dl. Lasiin kaadetaan juomaa, jonka nestepinta ulottuu puoleenväliin lasin sisätilan korkeudesta. Paljonko lasissa on juomaa?

Vihje

Korkeuksien suhde.

Vanhoja YO-tehtäviä Pitkä matematiikka

Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen.

1. Kuutio pienennetään toiseksi kuutioksi siten, että sen kokonaispinta-ala pienenee 36 %. Kuinka monta prosenttia tilavuus pienenee?

Syksy 2004

48,8%

2. Suorakulmaisen kolmion kateettien suhde on 1:2. Missä suhteessa hypotenuusalle piirretty korkeusjana jakaa hypotenuusan?

Syksy 1999

4:1

3. Moottorisahan öljyä myydään 1 litran ja 3 litran muovipulloissa. Pullot ovat samanmuotoiset, ja pullojen muovimäärä on suoraan verrannollinen niiden pinta-alaan. Kuinka moninkertainen muovimäärä on 3 litran pullossa 1 litran pulloon verrattuna? Kuinka monta prosenttia vähemmän 3 litran pullossa on käytetty muovia öljylitraa kohti kuin 1 litran pullossa?

Kevät 1999

2,1-kertainen, 31%

Vanhoja YO-tehtäviä Lyhyt matematiikka

Kevät 2004 

11,6 ha maksimivirhe 0,4 ha

2.  A4-kokoisen kartan mittakaava on 1:20000. Kartta pienennetään kopiokoneella A5-kokoiseksi, jolloin sen pinta-ala pienenee puoleen, mutta muoto säilyy. Mikä on pienennetyn kartan mittakaava?

Kevät 2011

1:28 300 

3. Tähtiharrastaja katselee yöllisiä tähdenlentoja pihalla, joka sijaitsee kahden kerrostalon välissä kuvan mukaisesti. Talojen korkeudet ovat 39 m ja 26 m. Kuinka kaukana korkeammasta talosta molempiin suuntiin avautuu yhtä suuri kulma α  maanpinnan tasosta katsottuna?

Kevät 2013

30 metriä

4. Alla olevassa kuviossa on silityslauta sivusta katsottuna. Siihen liittyvät mitat on merkitty kuvioon. Laske sillityslaudan korkeus lattiasta.

Syksy 2015

84 cm

Valokuvanegatiivin koko on 24 mm x 36 mm. Negatiivista tehdyn suurennoksen pitempi sivu on 15 cm. Laske suurennoksen pinta-ala. 

150 cm²

5. Maantiekartassa on joitakin teiden risteyksiä merkitty ympyrällä, jonka halkaisija on 1,8 mm. Mitä risteysalueen halkaisijaa tämä vastaa todellisuudessa, kun kartan mittakaava on 1:200 000? Jos risteysalueen halkaisija todellisuudessa on 25 m, niin kuinka suuri sen tulisi kyseisellä kartalla olla? 

Kevät 2001

360 m, 0,125 mm

6. Ilmapallon kutistuessa sen halkaisija lyheni 9,1 %. Kuinka monta prosenttia ilmapallon tilavuus tällöin supistui?

Syksy 86 

25%

Alapuolisella videolla ratkaistaan oheiset YO-tehtävät.

Osion perustehtävät