Potenssifunktion integroiminen

Toistaiseksi osaamme integroida vain polynomifunktioita. Haluamme tietenkin integroida myös kaikkia muita funktioita, joita olemme käyttäneet, esimerkiksi laskea integraalin

Tällaisia hankalampia funktioita integroitaessa kannattaa tietää heti alusta alkaen, että vaikka osaamme derivoida (kynällä ja paperilla) melkein minkä funktion tahansa, integrointi ei aina onnistu. Oikeastaan se onnistuu vain erikoistapauksissa, mutta onneksi tehtäviin valitaan aina juuri sellaisia tapauksia.

Yllä olevan integraalin ensimmäinen termi osataan jo laskea, joten siirrytään seuraavaan. Juurilausekkeet ja murtopotenssilausekkeet opetellaan kerralla, koska ne lasketaan samalla tavalla, juurilauseke muutetaan ensin murtopotenssiksi. Voimme käyttää jo aiemmin käytettyä potenssifunktion integraalikaavaa pienillä tarkennuksilla

Aiemmin r oli positiivinen kokonaisluku. Nyt r voi periaatteessa olla mikä tahansa reaaliluku paitsi -1 (palaamme tilanteeseen r = -1 myöhemmin), mutta rajoitumme kuitenkin rationaalilukuihin, eli r on murtolukumuotoa. Integraali on tällöin määritelty samassa alueessa kuin integroitava funktiokin. Meillä on 3 eri tapausta funktion määrittelyjoukolle:

1. r = 1,2,3, ... Määritelty kaikille x:n arvoille.

2. r = 0, -2, -3, -4… Määritelty kaikille muille arvoille paitsi x=0.

3. r ei ole kokonaisluku. Määritelty vain, kun x on positiivinen.

Näissä integraaleissa ei siis ole mitään ihmeellistä, kunhan muistat ottaa määrittelyjoukon huomioon.

Esimerkki 1

Juurifunktio siis kirjoitetaan murtopotenssina, lasketaan integraali, ja muutetaan tulos takaisin juurifunktioksi.

Tärkeä huomio määrittelyjoukosta! Yllä olevassa esimerkissä integraalin määrittelyjoukko on neliöjuurilausekkeen määrittelyjoukko, johon kuuluu piste x=0. Vaikka integroinnin aikana käytämme murtopotenssia, jossa x=0 ei ole mukana, on kuitenkin vastauksena olevan funktion määrittelyjoukossa jälleen x=0 mukana.

Jos siis integroisimme neliöjuuren sijaan x:n kuutiojuuren lauseketta, joka on määritelty kaikille x:n arvoille, olisi tuloskin määritelty kaikille x:n arvoille. Tämä siitäkin huolimatta, että laskun aikana käytetään murtopotenssifunktioita. Määrittelyjoukot kannattaa siis tarkistaa alkuperäisestä funktiosta sekä lopullisesta tuloksesta (joukot ovat yleensä samat, mutta joissain tapauksissa jälkimmäinen on pienempi).

Toinen hankaluus syntyy tilanteissa, joissa integroitava funktio koostuu kahdesta haarasta. Tällöin täytyy integraalifunktio etsiä kummassakin haarassa erikseen. Integraalifunktio on useimmiten samaa muotoa, mutta integrointivakio voi muuttua. Näin käy siis ainoastaan tilanteissa, joissa funktioissa on reikä [funktio voi silti olla määrittelyjoukossaan jatkuva, kuten seuraavassa esimerkissä].

Esimerkki 2: Etsi funktion f(x) se integraalifunktio, joka kulkee pisteiden (-1,1) ja (1,2) kautta.

Integraalin laskemisessa ei sinänsä ole mitään hankalaa

Mutta integraalifunktiot täytyy nyt määrittää erikseen alueessa x<0 ja x>0. Tulos on muuten sama, mutta eri alueissa on eri integrointivakiot. [Sama pätee kaikille paloittain määritellyille funktioille, eli niille laitetaan omat integrointivakiot jokaiselle määrittelyvälille.]

Alueessa x<0 meillä on ehto F(-1) = 1, josta saadaan ratkaistua C

Ja ehdosta F(1)=2 saadaan ratkaistua D

Kokonaisuudessaan F(x) on siis paloittain määritelty funktio