Yhtälön ratkaisu
Merkki = tarkoittaa on yhtä kuin. Toisin sanoen =-merkin molemmilla puolilla on tismalleen sama asia. Esimerkiksi 3+7=10. Yhtälössä molemmilla puolilla on kymmenen sillä 3+7 on kymmenen. Yhtälön ratkaisu perustuu tuohon samaan huomioon. Molemmilla puolilla pitää olla tismalleen sama asia.
4 + _ = 9
Mikä luku kuuluu tyhjälle paikalle? Yleensä usea huomaa puuttuvan luvun olevan viisi. Koska 4 + 5 = 9. Molemmilla puolilla on yhtä suuri luku.
Päättely ei ole kovinkaan hyvä tapa ratkaista yhtälöä, joten tarvitsemme siihen sopivat työkalut. Voimme muokata yhtälöä, kunhan muistamme, että mitä tahansa teemmekin, meidän pitää tehdä se yhtälön molemmille puolille.
Tämän lisäksi huomioidaan, että yhteenlaskun kumoaa vähennyslasku ja vähennyslaskun yhteenlasku. Toisin sanoen, jos lisäämme lukuun kaksi luvun yksi, saadaan kolme. Takaisin pääsemme, kun vähennämme luvusta kolme luvun yksi.
Jos kerromme luvun jollain toisella luvulla, saamme sen kumottua jakamalla samalla luvulla.
Jos luku kaksi kerrotaan kolmella, saamme tuloksi kuusi. Jos jaamme luvun kuusi kolmella, päädymme takaisin lukuuna kaksi.
Esimerkki 3
Ratkaise yhtälö 3x + 2 = 8
Vähennetään molemmilta puolilta 2
Jaetaan molemmat puolet x:n kertoimella 3
Tarkoitus on siis eliminoida x:n ympäriltä kaikki luvut siten, että vasemmalle puolelle jää vain x.
Yhtälö voidaan myös ajatella olevan kuin vaaka. Meidän tulee pitää vaaka tasapainossa.
Jos lisäämme jotain yhtälön toiselle puolelle, pitää se lisätä myös toiselle puolelle.
Jos vähennämme jotain toiselta puolelta pitää se vähentää myös toiselta puolelta.
Jos kerromme yhtälön toista puolta jollain luvulla, tulee myös toinen puoli kertoa sillä.
Jos jaamme yhtälön toisen puolen jollain luvulla, tulee myös toinen puoli jakaa sillä.
Yhtälön pitää pysyä koko ajan totena.
Viereisen vaa'an vasemmassa kulhossa on kaksi kertaa x ja oikeassa kulhossa on 6. Vaaka on tasapainossa, joten on oltava x = 3, koska 2 · 3 = 6
Esimerkki 4
Ratkaise yhtälö 3x + 4 = 5 – 6x
YO lyhyt 2002k/1a
Nyt yhtälön molemmilla puolilla on muuttuja x. Meidän täytyy saada ne samalle puolelle.
Lisätään molemmille puolille 6x,
Vähennetään molemmilta puolilta 4.
Jaetaan muuttujan x kertoimella 9 molemmat puolet.
Lisäämistä ja vähentämistä ei tarvitse merkitä näkyviin. Voimme "siirtää" termejä puolelta toiselle kunhan muistamme muuttaa etumerkin.
Edelliseen ratkaisuun riittäisi merkinnät
Tässä yhtälön vasemmalta puolelta on siirretty +4 yhtälön oikealle puolelle. Siirtäessä etumerkki muuttuu ja oikealle puolelle tulee -4.
Yhtälön oikealta puolelta -6x on siirretty vasemmalle puolelle, jolloin sinne tulee +6x.
Katso edellä olevaa ratkaisua kaikkine välivaiheineen ja mieti miksi merkki muuttuu kun termejä siirretään yhtälön puolelta toiselle.
Esimerkki 5
Ratkaise yhtälö 2(x + 4) – 3(x – 3) = 0
YO lyhyt 2013k/1a
Aluksi meidän tulee kertoa sulkeet auki.
Kerrotaan ensimmäisestä sulkeista molemmat termit kahdella ja jälkimmäisestä molemmat termit miinus kolmella.
Jätetään muuttuja vasemmalle ja siirretään vakiot oikealle.
Lopuksi kerrotaan (tai jaetaan) molemmat puolet luvulla -1, jotta päästään eroon muuttujan x etumerkistä.
Esimerkki 6
Eräissä maissa käytetään lämpötilan mittaamisessa fahrenheitasteikkoa. Fahrenheitmittarin lukema f muunnetaan oheisella kaavalla celsiusmittarin lukemaksi c. Kuinka korkea kuume ihmisellä on fahrenheitasteina, jos lukema celsiusasteina on 38,2? Missä lämpötilassa celsiusmittari ja fahrenheitmittari osoittavat samaa lukemaa?
YO lyhyt 2001s/1
Merkitään yhtälöön c = 38,2 ja ratkaistaan f.
Kuume on 101 ⁰F
Merkitään tätä samaa lukemaa x
Lukema on sama lämpötilassa -40 ⁰C
Esimerkki 7
Tilausmatkan kustannukset ajateltiin jaettavaksi tasan 22 osanottajalle, mutta kun lähtijöitä olikin 24, tuli kullekin matka 10 mk halvemmaksi. Kuinka paljon kukin osanottaja joutui lopulta maksamaan?
YO lyhyt 1993k/1
Merkitään osanottajan maksua alussa muuttujalla x. tällöin matkan hinta aluksi on 22x ja kun lähtijöitä on 24 matkan hinta on 24(x-10).
Huomionarvoista tässä on se, että matkan hinta ei muutu. Vain hinta osanottajaa kohden.
Saadaan yhtälö.
Eli alussa matka maksoi 120 mk / henkilö ja kun lähtijöitä olikin 24, hinta oli 110 mk / henkilö.
Yhtälön ratkaisu GeoGebralla
Yhtälön voi ratkaista geogebralla syöttämällä komennon Ratkaise(Yhtälö)
Esimerkiksi vieressä on ratkaistu edellisen esimerkin yhtälö.
Laskinohjelmia kannattaa käyttää vain apuna ja pääasiassa tarkistamiseen. Ratkaise yhtälöt perinteisellä menetelmällä.
Harjoituksia
1. Ratkaise yhtälö 7x + 3 = 31
YO lyhyt 2012k/1a
Vihje
Aloita viemällä vakiot oikealle
2. Ratkaise yhtälö 4x + (5x – 4) = 12 + 3x
YO lyhyt 2011k/1a
Vihje
Voiko sulkeet vain jättää pois?
3. Ratkaise yhtälö 5x − (1 − x) = 13x
YO lyhyt 2008k/2a
Vihje
Sulkeiden edessä on miinus. Miten se vaikuttaa sulkeiden avaamiseen?
4. Ratkaise yhtälö x + 2(4 + x) = −1
YO lyhyt 2006s/1a
Vihje
Kerro sulkeet auki
5. Ratkaise yhtälö 3x + 2 = x − 4(5x − 1)
YO lyhyt 2005k/1a
Vihje
Kerro sulkeet auki. Huomaa, että kerrot negatiivisella luvulla.
6. Ludwig van Beethoven, Wolfgang Amadeus Mozart ja Johann Sebastian Bach elivät yhteensä 156 vuotta. Bach eli yhdeksän vuotta vanhemmaksi kuin Beethoven, Mozart kuoli 21 vuotta nuorempana kuin Beethoven. Kuinka vanhoiksi säveltäjät elivät?
YO lyhyt 2011s/4
Vihje
Merkitse Beethovenin ikää muuttujalla x ja ilmaise Bachin ja Moxzartin iät tämän avulla.
7. Ratkaise yhtälö 5(3x + 1) − 4(3 − 2x) = 2x. Tutki, toteuttaako tämä ratkaisu myös yhtälön 27x³ − 54x + 17 = 0
YO lyhyt 2003s/2
Vihje
Mitä tapahtuu kun sijoitat saamasi x:n jälkimmäiseen yhtälöön?
8. Eräs luku henkilöitä suostui maksamaan tasan määrätyn summan hätääkärsiville. Jos jokainen maksaisi 5 mk, niin koottu summa olisi 110 mk liian suuri; jos taas jokainen olisi maksanut vain 3 mk, niin olisi se jäänyt 90 mk vaille. Montako osanottajaa oli ja suuriko oli koottava summa?
YO syksy 1893/1
Vihje
Merkitse henkilöiden määrää muuttujalla x. Ilmaise summan suuruus kahdella tavalla vihjeiden perusteella.