Yhdenmuotoisuus
Kaksi kuviota ovat keskenään yhdenmuotoiset mikäli ne on saatu toisistaan suurentamalla, pienentämällä, kääntämällä tai peilaamalla.
Yläpuoliset kuviot ovat yhdenmuotoiset. Yhdenmuotoisissa kuvioissa vastinsivujen suhde säilyy.
Mikäli sivun pituus puolittuu, puolittuu jokaisen sivun pituus. Mikäli sivun pituus tulee kaksinkertaiseksi, tulee jokaisen sivun pituus kaksinkertaiseksi. Vastinsivujen (pituuksien) suhdetta kutsutaan mittakaavaksi ja sitä merkitään kirjaimella k.
Esimerkki 1
Alapuoliset kuviot ovat yhdenmuotoiset. Määritä sivun b pituus.
Koska kuviot ovat yhdenmuotoiset, vastinsivujen suhteet säilyvät.
Yhdenmuotoiset kolmiot
Kolmiot ovat yhdenmuotoisia, mikäli kolmioilla on kaksi yhtä suurta kulmaa.
Esimerkki 2
Määritä sivun x pituus
Kolmiot ovat yhdenmuotoisia, sillä niillä on kaksi yhtä suurta kulmaa. Vastinsivujen suhteet säilyvät.
Mittakaava
Kartat ovat yhdenmuotoisia luonnon kanssa. Ja toisten karttojen kanssa myös. Kartoissa ilmoitetaan mittakaava, joka on pituuksien suhden. Jos mittakaava on 1:50000, tarkoittaa tämä, että kun kartalta mitataan 1 cm vastaa sitä luonnossa pituus 50000 cm.
Esimerkki 3
Kartan mittakaava on 1:20000. Kartalla mitattu pituus on 10 cm. Mikä on vastaava pituus luonnossa?
Merkitään luonnossa olevaa pituutta kirjaimella x.
Nyt voimme merkitä verrannon ja ratkaista muuttuja x ristiinkertomalla.
Luonnossa pituutta vastaa siis 200 000 cm joka on 2 km.
Pinta-ala ja tilavuus
Pinta-alojen suhde on mittakaava toiseen ja tilavuuksien suhde on mittakaava kolmanteen.
Mittakaava tarkoitti pituuksien suhdetta.
Esimerkki 4
Alapuoliset kuviot ovat yhdenmuotoiset. Mikä on pienemmän kuvion pinta-ala?
Pinta-alojen suhde on pituuksien suhde (mittakaava) toiseen. Merkitään pienemmän kuvion pinta-alaa Ap.
Esimerkki 5
Omakotitalon ja pihamökin seinät ovat yhdenmuotoiset. Omakotitalon seinä on 7,0 metriä pitkä ja sen maalaamiseen kului 11,0 litraa. Pihamökin seinä on 2,2 metriä pitkä. Kuinka paljon pihamökin seinän maalaamiseen kuluu maalia, kun molemmat seinät maalataan samalla tavalla?
Ratkaisu
Maali levitetään seinälle, eli seinän pinta-ala on suoraan verrannollinen maalin määrään. Pinta-alojen suhde on taas pituuksien suhde toiseen. Merkitään pihamökin seinään tarvittavaa maalimäärää A.
Saadaan verranto
Maalia kuluu siis 1,1 litraa pihamökin seinään.
Harjoituksia
Suorakulmion muotoinen kuva pienennetään kopiokoneessa siten, että sen ala pienenee 36 %. Alkuperäisen suorakulmion lyhyemmän sivun pituus oli 8,0 cm. Kuinka pitkä on kopion lyhyempi sivu?
Vihje
Pituuksien suhde toiseen on pinta-alojen suhde.
2. Taidemaalarit käyttävät joskus ns. kultaista suorakulmiota, joka täyttää ehdon: Kun suorakulmiosta erotetaan lyhyemmän sivun suuntaisesti neliö, niin jäljelle jäävä suorakulmio on yhdenmuotoinen alkuperäisen suorakulmion kanssa. Jos kultaisen suorakulmion pitemmän sivun pituus on 1 metri, mikä on lyhyemmän sivun pituus? (Vastaus millimetrin tarkkuudella).
Vihje
Merkitse neliön sivua x, joka on myös jäljelle jäävän suorakulmion pitempi sivu.
3. Juomaa myydään puolen litran ja puolentoista litran pulloissa. Pullot ovat samanmuotoiset. Isomman pullon korkeus on 34 cm. Laske pienemmän pullon korkeus.
Vihje
Tilavuuksien suhde on pituuksien suhde kolmanteen.
4. Kuva pienennetään kopiokoneessa (suhteet säilyttäen) siten, että erään sivun pituus pienenee 12 cm:stä 4,0 cm:iin. Kuinka monta prosenttia kuvan ala pienenee?
Vihje
Alojen suhde on pituuksien suhde toiseen.
5. Kaksi yhdenmuotoista tulostetta on tehty samasta alkuperäiskuvasta. Suurempi tuloste on 12 cm korkea ja 20 cm leveä, ja sen pinta-ala on 16 kertaa niin suuri kuin pienemmän. Laske pienemmän tulosteen korkeus ja leveys.
Vihje
Ratkaise pituuksien suhde pinta-alojen avulla.
6. Jalallisen samppanjalasin sisätila on kärjellään seisova suora ympyräkartio, jonka tilavuus on 2,2 dl. Lasiin kaadetaan juomaa, jonka nestepinta ulottuu puoleenväliin lasin sisätilan korkeudesta. Paljonko lasissa on juomaa?
Vihje
Korkeuksien suhde.
Vanhoja YO-tehtäviä
Klikkaa nähdäksesi vastauksen.
Metsäpalstan pinta-alaksi peruskartalla mitattiin 2,9 cm² , missä mittausvirhe on enintään 0,1 cm² . Laske palstan koko hehtaareina ja sen maksimivirhe, kun peruskartan mittakaava on 1 : 20 000
Kevät 2004
11,6 ha maksimivirhe 0,4 ha
2. A4-kokoisen kartan mittakaava on 1:20000. Kartta pienennetään kopiokoneella A5-kokoiseksi, jolloin sen pinta-ala pienenee puoleen, mutta muoto säilyy. Mikä on pienennetyn kartan mittakaava?
Kevät 2011
1:28 300
3. Tähtiharrastaja katselee yöllisiä tähdenlentoja pihalla, joka sijaitsee kahden kerrostalon välissä kuvan mukaisesti. Talojen korkeudet ovat 39 m ja 26 m. Kuinka kaukana korkeammasta talosta molempiin suuntiin avautuu yhtä suuri kulma α maanpinnan tasosta katsottuna?
Kevät 2013
30 metriä
4. Alla olevassa kuviossa on silityslauta sivusta katsottuna. Siihen liittyvät mitat on merkitty kuvioon. Laske sillityslaudan korkeus lattiasta.
Syksy 2015
84 cm
Valokuvanegatiivin koko on 24 mm x 36 mm. Negatiivista tehdyn suurennoksen pitempi sivu on 15 cm. Laske suurennoksen pinta-ala.
150 cm²
5. Maantiekartassa on joitakin teiden risteyksiä merkitty ympyrällä, jonka halkaisija on 1,8 mm. Mitä risteysalueen halkaisijaa tämä vastaa todellisuudessa, kun kartan mittakaava on 1:200 000? Jos risteysalueen halkaisija todellisuudessa on 25 m, niin kuinka suuri sen tulisi kyseisellä kartalla olla?
Kevät 2001
360 m, 0,125 mm
6. Ilmapallon kutistuessa sen halkaisija lyheni 9,1 %. Kuinka monta prosenttia ilmapallon tilavuus tällöin supistui?
Syksy 86
25%
Alapuolisella videolla ratkaistaan oheiset YO-tehtävät.
Osion perustehtävät