Asteet ja radiaanit
Suorita MAA5-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.
Kulmayksiköitä on olemassa muitakin kuin asteet. Tällä kurssilla käytämme kulmayksikkönä pitkälti radiaaneja.
Radiaaneina kulma määritellään kulmaa vastaavan ympyräkaaren suhteena ympyrän säteeseen. Tämä suhde pysyy samana vaikka ympyrän koko muuttuisi.
Tästä saadaan yhteys radiaanien ja asteiden välillä. Koko ympyrän kulma on 360 astetta. Tätä vastaavan kaaren pituus on 2πr, joten.
Kokeile
Voit muuttaa kulman kokoa sinisestä pallosta vetämällä. Näet kulman suuruuden sekä asteina, että radiaaneina.
Asteiden ja radiaanien välinen yhteys selkiytyy enemmän seuraavassa kappaleessa yksikköympyrä.
Esimerkki 1
Muutetaan 180° , 90° ja 45° radiaaneiksi.
Koska 360° = 2𝛑 radiaania, on
Esimerkki 2
Kuinka monta radiaania on 20°?
Ratkaistaan ensin kuinka monta radiaania on yksi aste
Nyt vain kerromme edellisen yhtälön luvulla 20
Esimerkki 3
Kuinka monta astetta on 2,1 radiaania?
Ratkaistaan ensin kuinka monta astetta on yksi radiaani
Kerrotaan edellä oleva yhtälö luvulla 2,1
Harjoituksia
1. Muuta asteiksi
a) 2,5 rad
b) π rad
c) π/4 rad
Vihje
2π rad = 360°
2. Muuta radiaaneiksi
a) 45°
b) 165°
c) 275°
Vihje
2π rad = 360°
3. Määritä sen ympyrän säde, jossa kaaren pituutta 4 vastaa kulma 2π/3 rad.
Vihje
Miten radiaani määriteltiin ympyrän avulla?
4. Kumpi kulmista on suurempi?
A:175° B: 4π/5
Vihje
Muuta kulmat samaan yksikköön.
5. Määritä kulman α suuruus
Vihje
Kolmion kulmien summa ja oikokulma.
6. Määritä kulman α suuruus radiaaneina
Vihje
Miten kappaleen alussa radiaanit määriteltiin?
7. a) Kuinka monta astetta on 4π rad? Minkälainen tämä kulma on, jos se piirretään?
b) Kuinka monta radiaania on -270° ? Miten piirtäisit tämän kulman?
Vihje
Mieti kulmien suuruuksia ympyräsektorin kulmana.
8. Aseta kulmat suuruusjärjestykseen
44°, π/2, π/4 125°, 2π/3, 360°
Vihje
Muuta kulmat samaan yksikköön.
9. Kulma α määritellään alla olevalla tavalla. Laske kulmat kertoimen n arvoilla 1,2,3 ja -1
Vihje
Sijoita arvot ja laske
10. Piirrä GeoGebralla origokeskeinen ympyrä, jonka säde on 1. Merkitse ympyrään kulmat
44°, π/2, π/4 125°, 2π/3, 360°
Vihje
Muunna kaikki kulmat ensin asteiksi.