Suorita lukio-opintoja kesällä etänä Eirassa!

Asteet ja radiaanit

Suorita MAA5-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.

Kulmayksiköitä on olemassa muitakin kuin asteet. Tällä kurssilla käytämme kulmayksikkönä pitkälti radiaaneja.

Radiaaneina kulma määritellään kulmaa vastaavan ympyräkaaren suhteena ympyrän säteeseen. Tämä suhde pysyy samana vaikka ympyrän koko muuttuisi.

Tästä saadaan yhteys radiaanien ja asteiden välillä. Koko ympyrän kulma on 360 astetta. Tätä vastaavan kaaren pituus on 2πr, joten.

Kokeile

Voit muuttaa kulman kokoa sinisestä pallosta vetämällä. Näet kulman suuruuden sekä asteina, että radiaaneina.

Asteiden ja radiaanien välinen yhteys selkiytyy enemmän seuraavassa kappaleessa yksikköympyrä.

Esimerkki 1

Muutetaan 180° , 90° ja 45° radiaaneiksi.

Koska 360° = 2𝛑 radiaania, on

Esimerkki 2

Kuinka monta radiaania on 20°?

Ratkaistaan ensin kuinka monta radiaania on yksi aste

Nyt vain kerromme edellisen yhtälön luvulla 20

Esimerkki 3

Kuinka monta astetta on 2,1 radiaania?

Ratkaistaan ensin kuinka monta astetta on yksi radiaani

Kerrotaan edellä oleva yhtälö luvulla 2,1

Harjoituksia

1. Muuta asteiksi

a) 2,5 rad

b) π rad

c) π/4 rad

Vihje

2π rad = 360°

2. Muuta radiaaneiksi

a) 45°

b) 165°

c) 275°

Vihje

2π rad = 360°

3. Määritä sen ympyrän säde, jossa kaaren pituutta 4 vastaa kulma 2π/3 rad.

Vihje

Miten radiaani määriteltiin ympyrän avulla?

4. Kumpi kulmista on suurempi?

A:175° B: 4π/5

Vihje

Muuta kulmat samaan yksikköön.

5. Määritä kulman α suuruus

Vihje

Kolmion kulmien summa ja oikokulma.

6. Määritä kulman α suuruus radiaaneina

Vihje

Miten kappaleen alussa radiaanit määriteltiin?

7. a) Kuinka monta astetta on 4π rad? Minkälainen tämä kulma on, jos se piirretään?

b) Kuinka monta radiaania on -270° ? Miten piirtäisit tämän kulman?

Vihje

Mieti kulmien suuruuksia ympyräsektorin kulmana.

8. Aseta kulmat suuruusjärjestykseen

44°, π/2, π/4 125°, 2π/3, 360°

Vihje

Muuta kulmat samaan yksikköön.

9. Kulma α määritellään alla olevalla tavalla. Laske kulmat kertoimen n arvoilla 1,2,3 ja -1

Vihje

Sijoita arvot ja laske

10. Piirrä GeoGebralla origokeskeinen ympyrä, jonka säde on 1. Merkitse ympyrään kulmat

44°, π/2, π/4 125°, 2π/3, 360°

Vihje

Muunna kaikki kulmat ensin asteiksi.

Osion perustehtävät

Google Sites

Report abuse