Suorita lukio-opintoja kesällä etänä Eirassa!

Osittaisderivaatta

Yhden muuttujan funktioissa funktion käyttäytymistä ollaan tarkasteltu derivaatan avulla. Myös kahden muuttujan funktion käyttäytymisen kertoo derivaatta. Nyt meillä vain on kaksi muuttujaa niin puhutaan osittaisderivaatoista. Funktio voidaan derivoida muuttujan x suhteen tai muuttujan y suhteen.

Jos derivoidaan muuttujan x suhteen, y on funktiossa vakio. Derivoitaessa muuttujan y suhteen, x on vakio.

Esimerkki 1

Määritä funktion f(x,y) osittaisderivaatat.

Derivoidaan muuttuujan x suhteen, eli y on vakio

Termistä xy jää vain kertoimena toimiva y ja termi 2y vakiona menee nollaksi.

Derivoidaan muuttujan y suhteen, jolloin x on vakio

Pelkkää muuttujaa x sisältävät termit menee vakioina nollaksi ja termistä xy jää kertoimena jäljelle x.

Osittaisderivaattafunktiot ovat siis

Osittaisderivaatat laskimella

Osittaisderivaatat saa lasketuksi esimerkiksi GeoGebralla.

Vieressä on esimerkin 1 osittaisderivaatat geogebran avulla. derivaattakomentoon määritellään minkä muuttujan suhteen derivaatta halutaan.

Kriittiset pisteet

Yhden muuttujan funktiossa funktion ääriarvokohdat ja ääriarvot saimme derivaatan nollakohtien avulla. Kahden muuttujan funktioissa näitä kohtia kutsutaan nimellä kriittiset pisteet. Kriittiset pisteet löydetään kohdista, joissa molemmat osittaisderivaatat ovat nollia.

Esimerkki 2

Määritä funktion f(x,y) kriittiset pisteet ja kriittisten pisteiden laatu.

Lasketaan osittaisderivaatat

Kriittiset pisteet ovat kohdissa, joissa molemmat osittaisderivaatat ovat nollia. Voidaan muodostaa yhtälöpari.

Maksimikohdan lähellä funktio ei saa suurempia arvoja, kuin maksimikohdassa. Minimikohdan lähellä funktio ei saa pienempiä arvoja kuin minimikohdassa. Satulapisteen lähellä funktio saa sekä suurempia, että pienempiä arvoja kuin satulapisteessä.

Ratkaisuna x = -1 tai x = 1 ja y =2. Yhtäaikaa osittaisderivaatat ovat nollia xy-tason kohdissa (-1,2) ja (1,2).

Yläpuolella oleva kuvaaja on kyseisen funktion kuvaaja. Kohdassa (-1,2) on maksimikohta ja kohdassa (1,2) on satulapiste.

Esimerkki 3

Määritä funktion f(x,y) kriittiset pisteet ja niiden laatu.

Lasketaan osittaisderivaatat

Muodostetaan yhtälöpari kriittisten pisteiden määrittämiseksi

Laskimella ratkaisuiksi saadaan xy-tason pisteet (0,0) ja (3,-3)

Kuvaaja GeoGebralla pisteiden laadun määrittämiseksi. Voit käännellä kuvaa hiirellä.

Pisteessä (3,-3) näyttäisi olevan minimikohta. Kaikki arvot tämän kohdan ympärillä ovat suurempia kuin itse minimikohta.

Pisteessä (0,0) on satulapiste, sillä pisteen vieressä on sekä suurempie että pienempiä arvoja kuin itse satulapisteessä.

Funktion muutosnopeus

Yhden muuttujan funktioissa derivaatan suuruus kertoi meille funktion muutosnopeuden. Kahden muuttujan funktiossa sen kertoo gradientti. Gradientti on xy-tason vektori.