Osittaisderivaatta
Yhden muuttujan funktioissa funktion käyttäytymistä ollaan tarkasteltu derivaatan avulla. Myös kahden muuttujan funktion käyttäytymisen kertoo derivaatta. Nyt meillä vain on kaksi muuttujaa niin puhutaan osittaisderivaatoista. Funktio voidaan derivoida muuttujan x suhteen tai muuttujan y suhteen.
Jos derivoidaan muuttujan x suhteen, y on funktiossa vakio. Derivoitaessa muuttujan y suhteen, x on vakio.
Esimerkki 1
Määritä funktion f(x,y) osittaisderivaatat.
Derivoidaan muuttuujan x suhteen, eli y on vakio
Termistä xy jää vain kertoimena toimiva y ja termi 2y vakiona menee nollaksi.
Derivoidaan muuttujan y suhteen, jolloin x on vakio
Pelkkää muuttujaa x sisältävät termit menee vakioina nollaksi ja termistä xy jää kertoimena jäljelle x.
Osittaisderivaattafunktiot ovat siis
Osittaisderivaatat laskimella
Osittaisderivaatat saa lasketuksi esimerkiksi GeoGebralla.
Vieressä on esimerkin 1 osittaisderivaatat geogebran avulla. derivaattakomentoon määritellään minkä muuttujan suhteen derivaatta halutaan.
Kriittiset pisteet
Yhden muuttujan funktiossa funktion ääriarvokohdat ja ääriarvot saimme derivaatan nollakohtien avulla. Kahden muuttujan funktioissa näitä kohtia kutsutaan nimellä kriittiset pisteet. Kriittiset pisteet löydetään kohdista, joissa molemmat osittaisderivaatat ovat nollia.
Esimerkki 2
Määritä funktion f(x,y) kriittiset pisteet ja kriittisten pisteiden laatu.
Lasketaan osittaisderivaatat
Kriittiset pisteet ovat kohdissa, joissa molemmat osittaisderivaatat ovat nollia. Voidaan muodostaa yhtälöpari.
Maksimikohdan lähellä funktio ei saa suurempia arvoja, kuin maksimikohdassa. Minimikohdan lähellä funktio ei saa pienempiä arvoja kuin minimikohdassa. Satulapisteen lähellä funktio saa sekä suurempia, että pienempiä arvoja kuin satulapisteessä.
Ratkaisuna x = -1 tai x = 1 ja y =2. Yhtäaikaa osittaisderivaatat ovat nollia xy-tason kohdissa (-1,2) ja (1,2).
Yläpuolella oleva kuvaaja on kyseisen funktion kuvaaja. Kohdassa (-1,2) on maksimikohta ja kohdassa (1,2) on satulapiste.
Esimerkki 3
Määritä funktion f(x,y) kriittiset pisteet ja niiden laatu.
Lasketaan osittaisderivaatat
Muodostetaan yhtälöpari kriittisten pisteiden määrittämiseksi
Laskimella ratkaisuiksi saadaan xy-tason pisteet (0,0) ja (3,-3)
Kuvaaja GeoGebralla pisteiden laadun määrittämiseksi. Voit käännellä kuvaa hiirellä.
Pisteessä (3,-3) näyttäisi olevan minimikohta. Kaikki arvot tämän kohdan ympärillä ovat suurempia kuin itse minimikohta.
Pisteessä (0,0) on satulapiste, sillä pisteen vieressä on sekä suurempie että pienempiä arvoja kuin itse satulapisteessä.
Funktion muutosnopeus
Yhden muuttujan funktioissa derivaatan suuruus kertoi meille funktion muutosnopeuden. Kahden muuttujan funktiossa sen kertoo gradientti. Gradientti on xy-tason vektori.
Gradientin avulla saamme funktion suurimman muutosnopeuden sekä sen suunnan. tietyssä kohdassa.
Esimerkki 4
Määritä funktion f(x,y) muutosnopeus ja suunta kohdassa (2,1)
Ratkaisu
Lasketaan osittaisderivaatat ja määritetään gradienttivektori.
Pisteestä (2,1) funktion arvot kasvavat suurimmalla nopeudella vektorin ∇f(2,1) suuntaan,
Arvot pienenevät nopeiten vastavektorin –∇f(2,1) suuntaan.
Kasvun nopeus saadaan vektorin pituudesta
Vieressä on kuvassa kohdan (2,1) piste merkitty funktion muodostamalle pinnalle sekä gradienttivektori. Voit liikutella kuvaa hiirellä.
Harjoituksia
1. Määritä funktion osittaisderivaatat
Vihje
Esimerkki 1
2. Määritä funktion osittaisderivaatat
Vihje
Esimerkki 1
3. Määritä funktion kriittiset pisteet ja niiden laatu kuvasta.
Vihje
Muodosta yhtälöpari osittaisderivaattojen nollakohtien avulla.
4. Määritä funktion kriittiset pisteen ja niiden laatu kuvasta.
Vihje
Katso edellinen vihje
5. Määritä edellisen tehtävän muutosnopeus ja suunta kohdassa (1,1)
Vihje
Esimerkki 4
6. Määritä funktion muutosnopeus ja suunta kohdassa (0,0)
Vihje
Esimerkki 4
7. Etsi se funktion f(x,y) kriittinen piste, joka ei ole funktion nollakohta. Mikä on kriittisen pisteen laatu tässä kohtaa?
Vihje
Jätä osittaisderivaatat tekijöihinsä. Mikä tekijöistä sisältää funktion nollakohdat?
8. Onko funktion f(x,y) kasvunopeus suurempi kohdassa (1,1) vai (-1,-1)?
Vihje
Vertaile gradienttivektoreita
