Potenssit
Potenssimerkinnällä voidaan esitettää saman luvun toistuva kertolasku. Esimerkiksi 2·2·2·2·2 = 25. Lukua, jota kerrotaan kutsutaan kantaluvuksi ja luku, joka ilmaisee kertomisien lukumäärän eksponentiksi. Merkinnässä 25 luku 2 on kantaluku ja luku 5 on eksponentti.
34 = 3·3·3·3 Kantaluku 3, eksponentti 4.
42 = 4·4 Kantalakuku 4, eksponentti 2.
Potenssien laskusäännöt
Samankantaisten potenssien tulo
Esimerkki 1
Sievennä 22·23
Lasku voidaan laske merkitsemällä auki vastaavat kertolaskut. 22 ·23 = 2·2·2·2·2 = 25 Jos kerrotaan samankantaisia potensseja keskenään, eksponentit lasketaan yhteen. 2x ·2y = 2x+y
Laskusäännöillä
22 · 23 = 22+3 =25
Samankantaisten potenssien osamäärä
Esimerkki 2
Sievennä 24 : 22
24 = 2 · 2 · 2 · 2
22 = 2 · 2
Kirjoittamalla kertolasku auki voidaan supistaa osamäärää, jolloin jäljelle jää vain 22.
Laskusäännöillä
24 : 22 = 24 - 2 = 22
Mikäli samankantaisia potensseja jaetaan keskenään, eksponentit vähennetään toisistaan
Potenssin potenssi
Esimerkki 3
Kirjoitetaan potenssimerkintä (23)2 auki
(23)2 = 23 · 23
Samankantaisten potenssien tulo, eli lasketaan eksponentit yhteen
(23)2 = 23 · 23 = 23+3 = 26
Laskusääntö sanoo, että korottaessa potenssin potenssiin, eksponentit kerrotaan keskenään. (2x)y = 2x·y
(23)2 = 23·2 = 26
Tulon potenssi
Esimerkki 4
Kirjoitetaan potenssimerkintä (2a)2 auki
(2a)2 = 2a·2a
Järjestellään luvut siis uudestaan.
(2a)2 = 2a · 2a = 2 · 2 · a · a = 22 · a2 = 4a2.
Tuloa korottaessa potenssiin, korotetaan kaikki tulon tekijät.
(a · b)2 = a2 · b2
Kertoessa lukuja keskenään laskujärjestyksellä ei ole väliä.
2 · 3 = 3 · 2 ja 2 · 3 · 4 = 4 · 2 · 3.
Osamäärän potenssi
Esimerkki 5
Kun osamäärä korotetaan potenssiin, korotetaan sekä osoittaja että nimittäjä tähän potenssiin.
Harjoituksia
1. Sievennä lauseke
YO lyhyt 2011s/2c
Vihje
Avaa ensin sulkeet ja järjestele samat kantaluvut peräkkäin.
2. Sievennä lauseke
YO lyhyt 2006k/2c
Vihje
Samankantaisten potenssien tulo ja osamäärä.
3. Laske lausekkeen arvo
YO pitkä 2012k/2a
Vihje
Saatko sievennettyä sulkeiden sisällä?
4. Sievennä
YO pitkä 2009k/1a
Vihje
Osamäärän potenssi
Negatiivinen eksponentti ja eksponenttina 0
Mikä tahansa luku korotettuna potenssiin 0 (paitsi 0 potenssiin 0 ei ole määritelty) on 1.
Katsotaan tätä esimerkin kautta.
Esimerkki 6
On aika selvää, kun luku jaetaan itsellään tulos on 1.
Käytetään samaan laskuun laskusääntöjä.
Saatiin samalle laskulle tulokseksi kolme potenssiin nolla. Eli tämän on oltava sama kuin yksi.
Tällöin kun a on erisuuri kuin nolla
Esimerkki 7
Alapuolella a on nollasta eroava luku. Avaamalla potenssit kertolaskuksi ja supistamalla saadaan
Laskusäännöillä tästä saadaan
Molemmat laskut ovat täysin oikein, joten on oltava
Eksponentille 0 ja negatiiviselle eksponentille on voimassa
Harjoituksia
5. Sievennä 40 – 3-1 + 2-2– 1-3 Anna vastaus murtolukuna.
YO lyhyt 2010k/2c
Vihje
Muuta kaikki murtolukumuotoon.
6. Sievennä 2-3 + 3-2
Vihje
Muuta kaikki murtolukumuotoon.
7. Sievennä 2-2 · 2-5 · 24 · 23
Vihje
Samankantaisten potenssien tulo.
Käänteisluku
Käänteisluvuksi kutsutaan lukua, jossa osoittaja ja nimittäjä on vaihdettu toisin päin.
Tällöin esimerkiksi luvun 3/4 käänteisluku on 4/3 ja luvun 7/9 käänteisluku on 9/7.
Esimerkki 8
Käänteislukua voidaan merkitä negatiivisella eksponentilla.
Kokonaisluvulle voidaan aina ajatella nimittäjään luku 1, joten esimerkiksi luvun 3 käänteisluku on 1/3
Harjoituksia
8. Laske viereisten lukujen känteislukujen keskiarvo
YO lyhyt 2013k/1b
Vihje
Keskiarvo lasketaan laskemalla luvut yhteen ja jakamalla lukujen määrällä.
Kymmenpotenssi
Kymmenpotenssien avulla on helppo ilmaista suuria sekä pieniä lukuja.
Suuret luvut
Esimerkiksi luku kaksi miljoonaa, 2 000 000, on kaksi kertaa miljoona, eli 2 · 1 000 000
Miljoona on 106,eli 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10
Tällöin luku 2 000 000 voidaan esittää kymmenpotessin avulla
2 000 000 = 2 · 106
Esimerkki 9
Laske 300 000 · 2 000 000
Muutetaan luvut kymmenpotenssimuotoon
3 · 105 · 2 · 106 = 3 · 2 · 105· 106 = 6 · 105+6 = 6 · 1011
Pienet luvut
Esimerkiksi luku 0,0003 on kolme kymmenestuhannesosaa. Eli 3 · 0,0001
Kymmenestuhannesosa on 10-4
Nyt voidaan esittää kymmenpotessin avulla
0,0003 = 3 · 10-4
Esimerkki 10
Laske 0,002 · 0,05
Muutetaan luvut kymmenpotenssimuotoon
2 · 10-3 · 5 · 10-2 = 2 · 5 · 10-3 · 10-2 = 10 · 10-3 +(-2) = 10 · 10-5 = 10-4
Kymmenpotenssin muodostaminen
Kymmenpotenssissa yleensä kerroin kymmenpotenssin edessä on yli 1 ja alle 10.
Esimerkki 11
Ilmoita luvut 0,0027 ja 45 000 000 kymmenpotenssimuodossa.
Ensin katsotaan luvusta 0,0027. Pilkkua pitäisi siirtää kolme pykälää oikealle, jotta luku olisi 1 ja 10 välissä. Toisin sanoen, jos luku 2,7 jaettaisiin tuhannella saataisiin 0,0027. Kymmenpotenssimuoto on siis
0,0027 = 2,7 · 10-3
Luvussa 45 000 000 pitäisi pilkkua siirtää seitsemän pykälää vasemmalle, jotta luku olisi 1 ja 10 välissä. Eli jos lukua 4,5 kerrotaan kymmenellä miljoonalla, saataisiin 45 000 000. Kymmenpotenssimuoto on
45 000 000 = 4,5 · 107
Harjoituksia
9. Jaa luku 0,00000021 luvulla 0,00000007
Vihje
Muuta luvut kymmenpotenssimuotoon.
10. Esitä luvut a = 260 000 000 000, b = 7 800 000 000 000 ja c = 39 000 000 000 000 kymmenen potenssien avulla ja laske esityksiä käyttäen alla olevien lausekkeiden arvot.
YO lyhyt 2004s/2
Vihje
Esitä ensimmäisen lausekkeen tapauksessa aluksi luvut samalla kymmenpotenssilla.
