Avaruusgeometria

Suorita MAA3-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.

Nimityksiä 

Kulma avaruudessa

Esimerkki 1

Lasketaan suorakulmaisen särmiön avaruuslävistäjän sekä pohjan välinen kulma.

Ensin tulee laskea pohjan lävistäjä. Se saadaan pythagoraan lauseella. 

Vain positiivinen kelpaa, koska kyseessä on pituus. Nyt saamme muodostettu suorakulmaisen kolmion, jossa kateetit ovat pohjan lävistäjä sekä korkeus särmä ja hypotenuusa on avaruuslävistäjä.

Kokeile

Voit käännellä alla olevaa suorakulmaista särmiötä pitämällä hiiren vasemman painikkeen painettuna. Saat klikattua näkyviin pohjalle ja avaruuslävistäjälle muodostuvat suorakulmaiset kolmiot.

Lieriö

Lieriö on kappale, jonka pohjat ovat samanmuotoiset. Lieriön korkeus on kohtisuora etäisyys pohjien välillä. Lieriön vaippa avattuna muodostaa suorakulmion, jonka toinen sivu on korkeus ja toinen sivu pohjan piiri. Tilavuus saadaan kun kerrotaan pohjan pinta-ala korkeudella.

Lieriö on suora lieriö, jos sen akseli on kohtisuorassa pohjia vastaan.

Suoran ympyrälieriön pohja on ympyrä. Tällöin sen tilavuus ja vaipan ala saadaan seuraavasti.

Esimerkki 2

Suoran ympyrälieriön pohjan halkaisija on 20 cm ja korkeus 38 cm. Laske lieriön tilavuus litroina ja kokonaispinta-ala neliösenttimetreinä.

Koska 1 dm³ =1 l, muutetaan mitat desimetreiksi. 20 cm = 2 dm ja 38 cm=3,8 dm. Pohjan säde on 1 dm.

Tilavuus on siis 12 litraa.

Kokonaispinta-alaan kuuluu vaipan ala sekä kaksi pohjan alaa.

Mikäli lieriön pohjana on säännöllinen monikulmio, kutsutaan tätä särmiöksi. Esimerkissä 1 on lieriö, jonka pohja on suorakulmio. Tällöin se on suorakulmainen särmiö.

Kokeile

Voit käännellä alla olevaa suoraa ympyrälieriötä pitämällä hiiren vasemman painikkeen painettuna. Voit säätää pohjan sädettä ja lieriön korkeutta. Saat näkyviin tilavuuden ja vaipan alan laskut.

Kartio

Kartio on kappale, jonka pohjan reunoilta lähtevät sivujanat yhdistyvät samassa pisteessä. Kartion tilavuus on kolmososa vastaavakorkuisen lieriön tilavuudesta.

Kartio on suora, mikäli pohjan keskipiste on korkeusjanan toinen päätepiste.

Yleisin tarkastelun kohteena oleva kartio on suora ympyräkartio. 

Kartion tilavuus

Suoran ympyräkartion vaippa tasoon avattuna muodostaa ympyräsektorin, jonka säteenä on kartion sivujana s. Haetaan sektorin ala. Sektorin kaaren pituus suhteessa koko ympyrän kaareen on yhtä suuri kuin pinta-alojen suhde.

Katkaistu kartio muodostuu kartiosta, jonka yläosasta on leikattu osa pois. Poistettu osa on yhdenmuotoinen vastaavan kokonaisen kartion kanssa.

Esimerkki 3

Suoran ympyräkartion pohjan halkaisija on 20 cm ja korkeus 50 cm. Laske kartion tilavuus ja vaipan ala.

Ratkaistaan sivujana s pythagoraan lauseen avulla.

Lasketaan tilavuus ja vaipan pinta-ala.

Pallo

Esimerkki 4

Helsingin sijainti on 60°  pohjoista leveyttä. Kuinka kaukana päiväntasaajasta Helsinki sijaitsee? Maapallon ympärysmitta on noin 40 000 km. Kulma Helsingin ja päiväntasaajan välillä on siis 60°. Ratkaistaan vastaavan kaaren pituus. Merkitään kysytty etäisyys E.

Harjoituksia

Vihje

Kuinka monta tahkoa on kuutiossa?

2. Jäätelökauppias myy eräänä kuumana päivänä 1000 jäätelötötteröä. Kuinka monta litraa jäätelöä kuluu, kun jäätelöpallon halkaisija on 6 cm, ja jokaisessa tötterössä on 2 palloa?

Vihje

Muuta mitat desimetreiksi.

3. Suoran ympyrälieriön muotoisen kulhon halkaisija on 16,0 cm ja korkeus 14,0 cm. Sen pohjalle laitetaan suorakulmaisen särmiön muotoinen tiiliskivi, jonka särmät ovat 12,0 cm, 7,0 cm ja 3,0 cm. Paljonko vettä voidaan kulhoon lisätä sen vuotamatta yli?

Vihje

Kuinka suuri tilavuus lieriöön jää?

4. Raudasta on valmistettu umpinainen suoran ympyrälieriön muotoinen tanko, jonka pituus on 28,8 cm ja läpimitta on 6,4 cm. Rautatanko sulatetaan. Sulatteesta valetaan palloja, joiden läpimitta on sama kuin alkuperäisen tangon läpimitta. Kuinka monta kokonaista palloa saadaan? Kuinka monta % raudasta jää jäljelle?

Vihje

Mikä on tangon tilavuus?

5. Sadetin kastelee urheilukenttää 14 metrin päähän sektorissa, jonka keskuskulma on 107 astetta. Nurmikenttä vaatii 4 mm vettä (eli 4 mm:n paksuisen kerroksen vettä). Kuinka kauan sadetinta on käytettävä, kun se ruiskuttaa kentälle 32 litraa minuutissa? Pyöristä ylöspäin lähimpään minuuttiin. Oletetaan, että sadettimen vesi jakautuu sektorille tasaisesti.

Vihje

Muuta yksiköt desimetreiksi. 1 litra on yksi kuutiodesimetri.

6. Lieriönmuotoisen astian pohja on ympyrä ja sen halkaisija on 44 mm. Astiassa on vettä. Kun astiaan upotettiin 8 samankokoista metallipalloa, veden pinta nousi 11 mm. Laske metallipallon säde millimetrin tarkkuudella.

Vihje

Kuinka suuri on tilavuusero ennen ja jälkeen pallojen upottamisen?

7. Kuutio on ympäröity mahdollisimman pienellä pallolla. Laske kuution tilavuus, jos pallon ala on 130 cm².

Vihje

Laske pallon säde. Mikä osa kuutiosta on pallon halkaisija?

8. Suoran ympyrälieriön muotoisessa lasissa on 7,2 cm:n korkeudelle juomaa. Lasiin upotetaan 4 pallonmuotoista lasikuulaa, joiden halkaisija on 24 mm. Juoman pinta nousee silloin 1,0 cm:n. Laske lasin pohjan halkaisija.

Vihje

Laske lisääntyvä tilavuus.

9. Laivasta valui mereen 300 000 litraa öljyä. Öljy saatiin rajatuksi puomeilla ympyrän muotoiselle alueelle, jonka halkaisija oli 1000 metriä. Mikä oli öljylautan keskimääräinen paksuus?

Vihje

Muuta litrat kuutiometreiksi.

10. Pallo on pakattu mahdollisimman pieneen suoran ympyrälieriön muotoiseen laatikkoon. Kuinka monta prosenttia laatikossa on tyhjää tilaa? 

Vihje

Mikä mitta lieriöstä vastaa pallon halkaisijaa?

11. Ramses II:n pyramidi on säännöllinen nelisivuinen pyramidi. Sen pohjasärmä on 112 m ja sivusärmä on 46° kulmassa maan tasoon nähden. Laske pyramidin tilavuus.

Vihje

Laske pohjan lävistäjä. Mihin muodostuu suorakulmainen kolmio?

12. Vesiastia on lieriö mutta se ei ole ympyräpohjainen. Astiaan kaadettiin 4,7 litraa vettä jolloin vedenpinta nousi 8,1 cm. Kun astiaan upotettiin pyöreä kivi, vedenpinta nousi 3,8 cm. Laske kiven halkaisija.

Vihje

Ratkaise ensin pohjan pinta-ala.

13. Sydney ja Buenos Aires sijaitsevat samalla leveyspiirillä 35° eteläistä leveyttä. Sydney sijaitsee pituuspiirillä 151° itäistä pituutta ja Buenos Aires pituuspiirillä 58° läntistä pituutta. Kuinka pitkä matka on Sydneystä Buenos Airesiin, jos kuljetaan itään pitkin 35. eteläistä leveyspiiriä? Entä jos kuljetaankin Sydneystä suoraan Etelänavalle ja sieltä suoraan Buenos Airesiin? Maapallon ympärysmitta on 40 000 km ja säde on 6370 km.

Vihje

Ratkaise ensin leveyspiirin pituus.

14. Pallon tilavuus on yhtä suuri kuin sellaisen kuution, jonka särmän pituus on 2,0 m. Laske kuution ja pallon pinta-alojen suhde 

Vihje

Tilavuuden kautta saat pallon säteen.

15. Kuution sisällä on mahdollisimman suuri suora ympyräpohjainen lieriö. Laske lieriön ja kuution tilavuuksien suhde prosenttilukuna yhden desimaalin tarkkuudella. 

Vihje

Merkitse kuution sivua x. Mikä on tällöin lieriön korkeus ja pohjan halkaisija?

16. Neliöpohjaisen suoran pyramidin korkeus on 8 ja pohjasärmän pituus on 12. Kuinka suuren kulman pyramidin sivusärmä muodostaa pohjatahkon kanssa? (Sivusärmä on pohjaneliön kulmaa ja pyramidin huippua yhdistävä jana. Kulma on tämän sivun ja pohjaneliön lävistäjän välinen kulma.) Ilmoita kulma asteen tarkkuudella.

Vihje

Ratkaise pohjan lävistäjä.

17. Puolipallon muotoisen juuston säde on 9,0 cm. Se on mahdollisimman pienessä suorakulmaisen särmiön muotoisessa laatikossa. Laske laatikon tilavuus. Anna Vastaus desilitroina 

Vihje

Mikä on laatikon korkeus ja pohjan mitat, kun puolipallon säde tiedetään?

18. Pakasteesta otetaan suorakulmaisen särmiön muotoinen marjasose. Särmiön leveys on 12 cm, pituus on 21 cm ja korkeus on 8,5 cm. Kun sose on osittain sulanut, muokataan siitä palloja, joiden halkaisija on 5,0 cm. Kuinka monta kokonaista palloa saadaan? Kuinka monta senttilitraa marjasoseesta jää yli?

Vihje

Laske marjasoseen tilavuus ja yhden pallon tilavuus.

Vanhoja YO-tehtäviä Pitkä matematiikka

Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen

1. Vesikaukalon päädyt ovat tasasivuisen kolmion muotoiset, ja kolmion sivujen pituus on a. Kaukalon pohja koostuu kahdesta suorakulmion muotoisesta levystä, joiden pituus on b.

a) Vaakasuorassa oleva kaukalo on aluksi täynnä vettä. Sitä kallistetaan pituussuunnassa niin, että vedenpinta ulottuu vasemmanpuoleisen päätykolmion alakulmaan alla olevan kuvion mukaisesti. Kuinka monta prosenttia vedestä valuu pois kallistuksen aikana?

b) Tämän jälkeen kaukalo palautetaan takaisin vaakasuoraan asentoon. Kuinka korkealla vedenpinta on kaukalon syvimmästä kohdasta mitattuna?

Syksy 2016

a) 67%

b) a/2

2. Täysin pyöreän geenimanipuloidun omenan säde on 5,0 cm. Omenan läpi porataan sen keskeltä kulkeva reikä, jonka säde on 1,0 cm. Kuinka monta prosenttia omenan tilavuudesta tällöin häviää? Anna vastaus prosenttiyksikön kymmenesosan tarkkuudella.

Syksy 2015

5,9%

3. Öljysäiliö on suoran ympyrälieriön muotoinen, ja sen akseli on vaakasuorassa. Akselia vastaan kohtisuoran poikkileikkauksen halkaisija on 1,3 metriä.

a) Määritä säiliön pituus, kun sen tilavuus on 3 000 litraa.

b) Öljyn korkeudeksi syvimmässä kohdassa mitataan 40 senttimetriä. Ku inka monta litraa öljyä on jäljellä säiliössä?

Kevät 2015

a) Noin 2,3 m

b) Noin 784 l

4. Suoran ympyräkartion korkeus on 5,0 cm, ja sen pohjan säde on 2,0 cm. Kartio katkaistaan niin, että yläreunan säde on 1,0 cm. Tämän jälkeen katkaistun kartion vaippa maalataan siniseksi ja sitä pyöritetään kyljellään paperilla. Määritä näin saadun sinisen rengasalueen pinta-ala yhden neliösenttimetrin tarkkuudella. 

Kevät 2012

68 cm² 

5. Vinon pyramidin pohja on neliö, jonka sivu on a. Pyramidin kahden vastakkaisen sivutahkon kulmat pohjan kanssa ovat 30 ja 135 astetta (pyramidin sisäpuolelta mitattuina).

a) Laske pyramidin korkeus. (3 p.)

b) Määritä pyramidin tilavuus. (2 p.)

c) Kahden muun sivutahkon kulmat pohjan kanssa ovat keskenään yhtä suuret. Määritä tämä kulma asteen tarkkuudella. (4 p.)

Kevät 2009 Jokeritehtävä

a)       h=½(√3+1)a

b)      V=⅙(√3+1)a³

c)       70 astetta

6. Laske kuution avaruuslävistäjän AG ja sivutahkon lävistäjän AC suuntien välinen kulma 0,1 asteen tarkkuudella. Laske edelleen avaruuslävistäjän AG ja sivutahkon lävistäjän BD suuntien välinen kulma.

Kevät 2007

35,3 astetta ja 90 astetta 

7. Suoran ympyrälieriön muotoisen litran mitan korkeus on 15 cm. Kuinka suuri on samanmuotoisen puolen litran mitan pohjan halkaisija?

Kevät 2002

7,3 cm 

8. Neljästä desilitrasta savea muotoillaan kaksi palloa siten, että pienemmän tilavuus on puolet suuremman tilavuudesta. Mitkä ovat pallojen säteet?

Syksy 1999

3,2 cm ja 4,0 cm

Vanhoja YO-tehtäviä Lyhyt matematiikka

1. Suorakulmaisen särmiön särmien suhdeluvut ovat 1, 1 ja 2. Särmiön koko pinnan ala on 14,4. Laske särmiön tilavuus.

Syksy 79 

3,456

2. Kheopsin pyramidin pohja on neliö ABCD, jonka Sivun pituus on 233 m, Ja pyramidin kärki P on yhtä etäällä pisteistä A, B, C ja D. Pyramidin särmä AP muodostaa pohjan lävistäjän AC kanssa 42⁰ kulman. Laske pyramidin korkeus ja tilavuus kolmen numeron tarkkuudella.

Kevät 86 

Korkeus 148 metriä, tilavuus 2 680 000 m³ 

3. Puun runkoa pidetään suorana ympyräkartiona. Puun korkeus on 14 m ja tyven läpimitta 24 cm. Vuodessa puu kasvaa pituutta 30 cm, ja sen tyven läpimitta suurenee 4 mm. Kuinka monta dm³ puun tilavuus tällöin kasvaa viidessä vuodessa?

Kevät 94 

Noin 63 dm³

4. Kuutio jaetaan kuuteenkymmeneenneljään keskenään samansuuruiseen kuutioon. Mikä on näin muodostuneiden pikkukuutioiden särmän pituus (cm), kun alkuperäisen kuution tilavuus oli 1,00 litraa? 

Kevät 95

2,5 cm

5. Pallon tilavuus määritettiin upottamalla pallo nesteeseen, jolloin tilavuudeksi saatiin 1,52 ± 0,03 litraa. Missä rajoissa pallon halkaisija voi vaihdella? 

Syksy 97

14,17 cm - 14,36 cm

6. Suoran ympyrälieriön muotoisessa 10,0 cm:n korkuisessa lasissa on mehua 6,5 cm:n korkeuteen. Lasiin upotetaan viisi pallon muotoista lasikuulaa, joiden halkaisija on 20 mm. Mehun pinta nousee tällöin 7 mm. Laske lasin pohjan halkaisija.

Syksy 09 

6,2 cm

Osion perustehtävät