Embedded Files
Suorita lukio-opintoja kesällä etänä Eirassa!
Voit kerrata yhtälöiden ratkaisua MAY1 - moduulissa. Yhtälöt
Matemaatikko George Pólya esitteli vuonna 1945 ilmestyneessä kirjassaan How to solve it ongelmanratkaisumenetelmän, joka jakaantuu neljään vaiheeseen.
Ongelman määrittely
Suunnitelman laatiminen
Suunnitelman toteuttaminen
Arviointi
Ensimmäinen vaihe on se, että ongelma ymmärretään. Matematiikan tehtävässä tiedät siis mikä on ongelma ja mitä tulisi ratkaista.
Toinen vaihe on suunnitelman tekeminen ongelman ratkaisemiseksi. Keräät tarvittavat tiedot ja suunnittelet mikä on ratkaisutapa, jolla lähdet ongelmaa ratkaisemaan.
Kolmannessa vaiheessa toteutat suunnitelman, eli ratkaiset ongelman. Tämä ilmenee tehtävissä esimerkiksi saadun yhtälön ratkaisemisella.
Neljäs vaihe on arviointi, eli arvioit onko vastaus oikein ja onko se järkevä vastaus kyseiseen ongelmaan.
George Pólya (1887 - 1985)
Esimerkki 1
Ludwig van Beethoven, Wolfgang Amadeus Mozart ja Johann Sebastian Bach elivät yhteensä 156 vuotta. Bach eli yhdeksän vuotta vanhemmaksi kuin Beethoven, Mozart kuoli 21 vuotta nuorempana kuin Beethoven. Kuinka vanhoiksi säveltäjät elivät?
YO lyhyt 2011s/4
Ratkaisu
Sanallisen tehtävän ratkaisu lähtee tietojen keräämisestä ja tuntemattoman asian merkitsemisestä. Tässä esimerkissä meillä on selvitettävänä kolmen säveltäjän iät. Kahden muun ikää on verrattu Beethovenin ikään, joten valitsemme Beethovenin iän tuntemattomaksi ja merkitsemme sitä x.
Nyt voimme kerätä tiedot tehtävänannosta.
Säveltäjien iät
Beethoven = x
Bach = x + 9
Mozart = x – 21
Tämän lisäksi tehtävänannossa sanotaan säveltäjien eläneen yhteensä 156 vuotta, eli
Beethovenin ikä + Bachin ikä + Mozartin ikä = 156
Ja kun korvaamme iät yläpuolisilla merkinnöillä, saamme
x + x + 9 + x – 21 = 156
Olemme saaneet yhtälön, jossa on yksi tuntematon. Ratkaistaan yhtälö
Saimme ratkaistua, että Beethoven eli 56 vuotiaaksi. Tällöin Bach eli 56 + 9 = 65 vuotiaaksi ja Mozart 56 - 21 = 35 vuotiaaksi.
Beethoven
Mozart
Bach
Tehtävän ratkaisun jälkeen on hyvä miettiä, onko ratkaisu järkevä. Jos olisimme saaneet vastaukseksi esimerkiksi, että Mozartin ikä oli 168 vuotta, voisimme hyvin ajatella tehneemme virheen ratkaisussa. Tässä iät ovat järkeviä.
Esimerkki 2
Autoilija ajoi ajassa 2 h 40 min matkamittarinsa mukaan 205 km. Matkamittari näytti 5 % todellista matkaa suurempaa lukemaa. Mikä oli autoilijan keskinopeus?
YO lyhyt 1995s/2c
Ratkaisu
Keskinopeuden laskemiseksi tarvitsemme kuljetun matkan sekä siihen käytetyn ajan. Aika meillä on tiedossa ja se on 2 h 40 min ≈ 2,67 h. Merkitään todellista matkaa x.
Nyt voidaan muodostaa yhtälö todelliselle matkalle.
Todellisuusdessa matka oli siis 195,2 kilometriä. Keskinopeus saadaan, kun kuljettu matka jaetaan siihen kuluneella ajalla.
HUOM!
Tehtävä on ratkaistu pyöristetyillä arvoilla, mikä ei yleensä ole suositeltavaa. Tarkoilla arvoilla laskiessa vastaus olisi 73,2, joka pyöristyisi samaan arvoon. Jos joudut pyöristämään kesken ratkaisun, muista ottaa tarpeeksi desimaaleja mukaan.
Keskinopeus oli noin 73 km/h.
Tehtävänannossa on matka on annettu kilometrin tarkkuudella ja aika minuutin tarkkuudella. Sopiva tarkkuus vastaukselle on kokonaisten tarkkuus.
Esimerkki 3
Liisa-Petteri lähti kotoaan kävelemään kaupunkiin, jonne on matkaa 100 km. Liisa-Petteri käveli tasaisesti 5,0 km/h. Samaan aikaan hänen serkkunsa Klaus-Heidi lähti kaupungista Liisa-Petteriä vastaan polkupyörällä ajaen nopeudella 20 km/h. Kuinka pitkän ajan kuluttua he kohtaavat toisensa? Kuinka kaukana Liisa-Petteri on tuolloin kotoaan?
Ratkaisu
Tasaiselle nopeudelle on voimassa kaava s = vt, eli matka on nopeus kertaa aika. Lähtötiedoissa meillä on nopeudet ja matka ilmotettuna, eli merkitään aikaa x. Tämä siis on aika, joka kuluu kohtaamiseen lähdöstä.
Tässä ajassa kuljetut matkat
Liisa-Petteri 5x
Klaus-Heidi 20x
Yhteensä he kulkevat tietenkin koko 100 km matkan, joten saadaan yhtälö
5x + 20x = 100
Tästä saadaan ratkaistuksi x = 4. Eli kestää 4 tuntia kunnes he kohtaavat. Tällöin Liisa-Petteri on edennyt kotoaan
5 km/h · 4 h = 20 km
Esimerkki 4
Liisa-Petteri, Klaus-Heidi ja oravakuningas Mättönen vuokrasivat kimppakämpän. Asunnon vuokra oli 1250 € ja he päättivät jakaa vuokran huoneiden pinta-alojen suhteessa. Liisa-Petterin huone oli 13 m², Klaus-Heidin 17 m² ja Mättösen 20 m². Kuinka suuri oli kunkin maksama osuus vuokrasta?
Ratkaisu
Koska vuokra jaetaan pinta-alojen suhteessa, merkitään yhden neliön osuutta kirjaimella x.
Tällöin osuudet vuokrista ovat
Liisa-Petteri 13x
Klaus-Heidi 17x
Mättönen 20x
Kun osuudet lasketaan yhteen, saadaan koko vuokra
13x + 17x + 20x = 1250
Tästä saadaan ratkaistua x
x = 25
Yhden neliön osuus vuokrasta on 25 €.
Kolmikon maksamat vuokrat
Liisa-Petteri 13 · 25 € = 325 €
Klaus-Heidi 17 · 25 € = 425 €
Mättönen 20 · 25 € = 500 €
Liisa-Petterin huone
Klaus-Heidin huone
Mättösen huone
HARJOITUKSIA
HARJOITUKSIA
1. Liisa-Petteri oli saanut kesätöitä kärpässienen poimijana. Hän sai peruspalkkana 20 € ja 0,5 € jokaista kilogrammaa kohden. Kuinka monta kiloa sieniä hänen tuli kerätä, jotta palkka olisi 125 €?
Vihje
Merkitse kilogrammoja x ja muodosta yhtälö.
2. Kolmikko Liisa-Petteri, Klaus-Heidi ja oravakuningas Mättönen ostivat lomamatkan. He päättivät jakaa kustannukset heidän ikien suhteessa. Mättösen ikä oli kaksinkertainen Liisa-Petterin ikään verrattuna ja Klaus-Heidin ikä oli puolet Liisa-Petterin iästä. Kuinka paljon kukin maksoi lomamatkasta, kun kokonaishinta oli 2275 €?
Vihje
Merkitse Liisa-Petterin ikää tuntemattomana ja ilmoita muut tämän avulla. Miten osuus matkan hinnasta jakaantuu?
3. Juna lähti Absurdistanin asemalta kohti Turhapolisia kulkien 100 km/h. Samaan aikaan Turhapolisin asemalta lähti juna kohti Absurdistania kulkien 120 km/h. Kuinka kauan kestää, kunnes junat ohittavat toisensa, kun kaupunkien välimatka on 320 km? Kuinka kaukana Turhapolisista junat tuolloin ovat?
Vihje
Matka on nopeus kertaa aika. Merkitse aikaa x ja ilmaise molempien kulkema matka ohitushetkeen.
4. Pihatien varteen istutettiin 8 koivua tasavälein. Pihatien pituus on 49 metriä ja ensimmäinen koivu on 7 metrin etäisyydellä tien alusta ja tie jatkuu vielä 6 metriä viimeisen koivun jälkeen. Mikä oli koivujen etäisyys toisistaan?
Vihje
Merkitse koivujen välistä etäisyyttä x ja muodosta yhtälö tien pituuden avulla.
5. Mökkipelin säännöt olivat seuraavat: Pelaajat heittävät vuorollaan palloa. Kahdeksan metrin etäisyydelle on merkitty pisteraja. Tämän rajan saavuttaminen tuottaa 9 pistettä. Jokaisesta ylimenevästä metristä saa 0,75 pistettä lisää ja alle menevästä metristä 0,75 pistettä vähemmän. Muodosta funktio, joka ilmaisee pistemäärän yhdelle heitolle, jonka pituus on x metriä. Laske kuinka pitkä heitto tarvitaan 15 pisteen saavuttamiseen.
Vihje
Jos heitto on x metriä niin etäisyys pisterajaan on x-8.
6. Juhlatilan vuokra päätettiin jakaa osanottajien kesken. Alunperin juhlijoita oli 20, mutta myöhemmin mukaan tuli kolmikko Liisa-Petteri, Klaus-Heidi ja oravakuningas Möttönen, jolloin jokaisen maksama osuus tuli 6 € pienemmäksi. Kuinka paljon jokainen joutui lopulta maksamaan?
Vihje
Merkitse yhden maksamaa osuutta alussa x. Juhlatilan vuokra ei muutu. Mikä on juhlatilan vuokra alussa 20 osanottajalla ja mikä lopussa 23 osanottajalla?
7. Liisa-Petteri pelasi säännöllisesti erästä veikkauksen peliä. Hän pelasi aina samalla summalla. Kerran hän huomasi, että yhden rivin hinta oli kasvanut 0,20 € ja nyt hän pystyi enää pelaamaan 8 riviä aiemman 12 rivin sijasta. Millä summalla Liisa-Petteri peliä pelasi?
Vihje
Merkitse yhden rivin hintaa alussa x. Mikä on rivin hinta, kun se on noussut 0,20 €? Muodosta yhtälö.
8. Liisa-Petteri lähti kävelemään mökiltään nopeudella 4 km/h. Yhden tunnin ja 48 minuutin jälkeen Klaus-Heidi lähtee hänen peräänsä mopolla nopeudella 40 km/h. Kuinka pitkän matkan Liisa-Petterin on kävellyt, kun Klaus-Heidi saavuttaa hänet?
Vihje
Kun Klaus-Heidi saavuttaa Liisa-Petterin, ovat he kulkeneet saman matkan. Merkitse Liisa-Petterin kävelyaikaa x. Matka on nopeus kerrottuna ajalla.
9. Liisa-Petterin booli oli vahvuudeltaan 40%. Hän halusi laimentaa sen 12-prosenttiseksi lisäämällä booliin mustikkamehua. Kuinka paljon kolmen litran booliin pitää lisätä mustikkamehua, jotta booli laimenee haluttuun 12 prosenttiin?
Vihje
Laske puhtaan alkoholin määrä, se pysyy samana alussa ja laimennuksen jälkeen. Merkitse lisättyä mehua x.
10. Astiassa on 12 kg suolaliuosta, josta suolaa on 15 %. Liuoksesta haihdutetaan vettä kunnes sen suolapitoisuus on 20 %. Kuinka paljon liuosta nyt on ja kuinka monta prosenttia sen määrä vähentyi?
Vihje
Suolan määrä pysyy samana alussa ja lopussa. Merkitse liuoksen määrää lopussa x.
11. Astiassa on 20 kg suolaliuosta, josta suolaa on 10 %. Liuoksesta haihdutetaan vettä kunnes sen suolapitoisuus on 15 %. Kuinka paljon liuosta nyt on ja kuinka monta prosenttia sen määrä vähentyi?
Vihje
Merkitse haihduttamisen jälkeen olevaa liuoksen määrää x.
12 Auto A lähtee liikkeelle 30 minuuttia ennen kuin auto B lähtee liikkeelle samasta paikasta samalle tielle. Auto A ajaa keskinopeudella 60 km/h ja auto B keskinopeudella 80 km/h. Kuinka pitkän ajan auto B on ajanut, kun se tavoittaa auton A? Kuinka pitkän matkan autot ovat tällöin ajaneet?
Vihje
Matka on molemmilla sama. Jos Auton A aika on t, niin mikä on auton B aika?
13. Liisa-Petteri, Klaus-Heidi ja oravakuningas Mättönen harrastivat käpyjen keräilyä. Liisa-Peterillä oli kolme kertaa niin paljon käpyjä kuin Klaus-Heidilla. Mättösellä oli 150 käpyä vähemmän kuin Liisa-Petterilä. Yhteensä heillä oli 2090 käpyä. Kuinka monta käpyä kullakin oli?
Vihje
Merkitse Klaus-Heidin käpyjen määrää x ja ilmoita muiden merkit tämän avulla.
14. Liisa-Petterin, Klaus-Heidin ja oravakuningas Mättösen kuukausipalkkojen summa on 4880 €. Liisa-Petterin kuukausipalkka on 10 % suurempi kuin Klaus-Heidin, ja Mättösen kuukausipalkka on 5 % pienempi kuin Klaus-Heidin. Laske kaikkien kolmen kuukausipalkat.
Vihje
Merkitse Klaus-Heidin palkkaa x ja ilmoita muiden palkat tämän avulla.
15. Aku ja Aulis ovat pitkällä vaelluksella. Käveltyään eräänä päivänä kolmasosan päivämatkastaan he päättävät kävellä vielä 7 km ennen lounastaukoa. Lounaan jälkeen he huomaavat, että jäljellä on puolet aiotusta päivämatkasta. Kuinka pitkä aiottu päivämatka on?
YO kevät 2022
Vihje
Merkitse päivämatkan pituutta x ja muodosta yhtälö.
Osion perustehtävät
Osion perustehtävät
Google Sites
Report abuse