Aritmeettinen lukujono
Aritmeettinen lukujono on sellainen lukujono, jossa kahden peräkkäisen jäsenen välinen erotus on vakio
Yksinkertaisemmin sanottuna seuraava jäsen saadaan, kun edelliseen lisätään joku luku. Ja tämä luku on vakio, eli pysyy samana koko ajan.
2,5,8,11,14,...
Yläpuolella on aritmeettinen jono, sillä kahden peräkkäisen jäsenen erotus on 3. Tätä luku merkitään kirjaimella d. Jono jatkuisi 17,20,23,26,...
Kokeile
Anna jonon ensimmäinen jäsen sekä peräkkäisten jäsenten välinen erotus d. Liu'ulla voit määrittää jäsenien määrän.
Esimerkki 1
Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen jäsen on 2 ja toinen jäsen 6. Määritä jonon kaksi seuraavaa jäsentä.
a1 = 2 ja a2 = 6
Tällöin differenssi d on
d = a2 – a1 = 6 – 2 = 4
Kolmas ja neljäs jäsen
a3 = a2 + 4 = 6 + 4 = 10
a4 = a3 + 4 = 10 + 4 = 14
Yleinen jäsen
Aritmeettisessa lukujonossa meillä on luku d, joka lisätään jäseneen, jotta saadaan seuraava jäsen. Toiseen jäseneen päästäksemme lisäämme ensimmäiseen jäseneen luvun d. Kolmanteen jäseneen päästäksemme lisäämme taas luvun d, eli ensimmäiseen jäseneen lisäämme kaksi kertaa luvun d, niin saamme kolmannen jäsenen. Neljäs jäsen saadaan, kun lisätään d kolme kertaa ensimmäiseen jäseneen. Ja niin edelleen.
Eli saamme minkä tahansa jäsenen, kun lisäämme ensimmäiseen jäseneen luvun d yhden kerran jäsenen järjestyslukua vähemmän.
Esimerkki 2
Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen jäsen on 5 ja toinen jäsen 8. Määritä jonon kymmenes jäsen.
a1 = 5 ja a2 = 8
Tällöin differenssi d on
d = a2 – a1 = 8 – 5 = 3
Kymmenes jäsen
a10 = a1 + 9 · 3 = 5 + 27 = 32
Esimerkki 3
Aritmeettinen lukujono alkaa 2,5,...
Monesko jäsen luku
a) 197
b) 240
on lukujonossa?
Muodostetaan differenssi, kun a1 = 2 ja a2 = 5
Tällöin
d = a2 – a1 = 5 – 2 = 3
Jonon yleinen jäsen
an = a1 + (n – 1) · d = 2 + (n – 1) · 3 = 2 + 3n – 3 = 3n – 1
Ratkaistaan millä arvolla n, luku on jäsen jonossa
a)
Luku 197 on siis 66. jäsen.
b)
Koska ratkaisu ei ole luonnollinen luku, ei 240 ole lukujonon jäsen.
Harjoituksia
1. Määritä lukujonon kolme seuraavaa jäsentä
a) 2, 6, 10,...
b) 7, 18, 29,...
c) -2, -5, -8,...
Vihje
Mikä on differenssi?
2. Määritä lukujonon kolme seuraavaa jäsentä
a) 15, 8, 1,...
b) 3,0; 7,5; 12,0;...
c) 349, 227, 105,...
Vihje
Mikä on differenssi?
3. Onko lukujono aritmeettinen?
a) 1, 2, 4,...
b) 2, -1, -4,...
c) 52, 137, 223,...
Vihje
Onko jäsenten välinen erotus vakio?
4. Lukujonon kolme ensimmäistä jäsentä ovat 4, 15, 26.
a) Mikä on lukujonon peräkkäisten jäsenten erotus d ?
b) Määritä lukujonon yleisen jäsenen lauseke sievennettynä
c) Laske lukujonon 15. jäsen
Vihje
b-kohdassa sijoita luvut yleisen jäsenen lausekkeeseen ja avaa sulkeet.
5. Määritä aritmeettisen lukujonon 5, 12, 19,..
a) kuudes jäsen
b) 50. jäsen
Vihje
Määritä ensin differenssi
6. Määritä aritmeettisen lukujonon 1, 24, 47,...
a) 10. jäsen
b) 100. jäsen
Vihje
Määritä ensin differenssi.
7. Matti opettelee lukemaan. Tammikuussa hän lukee 22 sanaa minuutissa. Helmikuussa hän lukee 26 sanaa minuutissa, maaliskuussa 30 sanaa minuutissa. Mikä on hänen lukunopeutensa joulukuussa, mikäli kehitys jatkuu samanlaisena?
Vihje
Lukunopeudet muodostavat aritmeettisen jonon. Mikä on differenssi? Monesko jäsen on joulukuun lukunopeus?
8. Lukujonon yleisen jäsenen lauseke on
an = 5n + 8
Määritä lukujonon jäsenet
a1, a10, a2021
Vihje
Saat suoraan laskettua jäsenet lausekkeen avulla
9. Lukujonon yleisen jäsenen lauseke on
an = 100 – 3n
a) Määritä lukujonon kolme ensimmäistä jäsentä
b) Määritä lukujonon 99. jäsen
c) kuuluuko luku -200 lukujonoon?
Vihje
Muodosta c-kohdassa yhtälö.
10. Aritmeettisen lukujonon kolme ensimmäistä jäsentä ovat 4, 11, 18.
a) Kuinka mones lukujonon jäsen on 627 ?
b) Kuuluuko luku 3735 lukujonoon?
Vihje
Muodosta ensin yleinen jäsen.
11. Aritmeettisen jonon kolme ensimmäistä jäsentä ovat -12, 6, 24. Kuuluuko luku 2020 lukujonoon?
Vihje
Muodosta yleinen jäsen ja tämän jälkeen yhtälö.
12. Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen jäsen on 10 ja seitsemäs jäsen on 82.
a) Mikä on peräkkäisten jäsenten erotus d?
b) Laske lukujonon 99. jäsen
Vihje
Ratkaise differenssi yleisen jäsenen lausekkeen avulla.