Funktion merkki
Suorita MAA6-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.
Funktion merkki, eli onko funktion arvot negatiivisia vaiko positiivisia. Vakiofunktio f(x) = 3 on aina kolme, eli positiivinen. Funktio f(x) = -2 on aina -2, eli negatiivinen.
Funktio f(x) = x saa negatiivisia arvoja, kun x < 0 ja positiivisia arvoja, kun x > 0. Funktio vaihtaa merkin siis nollakohdassaan, joka on x = 0.
Esimerkki 1
Milloin funktio f(x) = 2x – 6 saa negatiivisia arvoja?
Ratkaisu
Muodostetaan epäyhtälö ja ratkaistaan se
Funktio saa negatiivisia arvoja, kun x < 3
Kuvaajasta nähdään sama. f(x)<0, kun x<3
Esimerkki 2
Milloin funktio f(x) saa negatiivisia arvoja?
Funktion nollakohdat ovat x = 1 tai x = 2. Funktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli ja negatiivinen se on nollakohtiensa välissä.
Funktio f(x) < 0, kun 1 < x < 2
Esimerkki 3
Milloin funktio g(x) saa positiivisia arvoja?
Ratkaisu
Funktiolla g ei ole nollakohtia, sillä sen diskriminantti on negatiivinen,
Funktion g kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten se saa vain negatiivisia arvoja. Funktio g(x) ei saa positiivisia arvoja millään x:n arvolla.
Esimerkki 4
Milloin f(x) < g(x)?
Ratkaisu
Muodostetaan epäyhtälö ja ratkaistaan se.
Myös kuvaajista nähdään, että funktio f saa pienempiä arvoja kuin funktio g, kun x < 2
Harjoituksia
1. Millä muuttujan x arvoilla funktion f(x) arvot ovat negatiivisia?
Vihje
Nollakohdat
2. Millä muuttujan x arvoilla funktion f(x) arvot ovat positiivisia?
Vihje
Nollakohdat ja kuvaaja
3. Määritä vakio c siten, että f(x) < 0 kaikilla muuttujan x arvoilla.
Vihje
Fuktiolla ei ole nollakohtia
4. Määritä vakio b siten, että f(x) > 0 kaikilla muuttujan x arvoilla.
Vihje
Funktiolla ei ole nollakohtia
5. Tiedetään, että f(x) < 0, kun 2 < x < 6. Määritä kertoimet b ja c.
Vihje
Nollakohdat tehtävänannossa.
6. Funktiosta tiedetään, että se saa negatiivisia arvoja välillä ]-1,3[ ja f(2) = -6. Määritä kertoimet a, b ja c.
Vihje
Muodosta yhtälöryhmä.
7. Milloin funktion f(x) - g(x) arvot ovat negatiivisia?
Vihje
Laske ensin erotus.
8. Milloin f(x) < g(x)?
Vihje
Toisen asteen epäyhtälö.
9. Määritä vakio c siten että f(x) > 0, aina kun x ≠ 2
Vihje
Mikä on funktion nollakohta?
10. Määritä funktio f(x), kun f(x) > 0, kun -4 < x < 2.
Vihje
Kuinka monta funktiota toteuttaa ehdon?