Rationaaliyhtälö

Suorita MAA2-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.

Rationaalifunktio

Rationaalifunktio on muotoa

Rationaalifunktion nollakohdat määräytyvät osoittajan nollakohtien mukaan. Nimittäjän nollakohdissa funktiolla on epäjatkuvuuskohta, ja funktio ei ole määritelty.

Funktion nollakohdat määräytyvät vain osoittajan nollakohtien mukaan.

Esimerkki 2

Määritä funktion f nollakohdat

Rationaalilausekkeen sieventäminen

Murtolausekkeita voidaan supistaa, jos sekä osoittaja että nimittäjä ovat tulomuodossa ja niillä on yhteisiä tekijöitä.

Tämä toimii tietenkin kaikilla murtolausekkeilla. 

Jos voimme ilmoittaa osoittajan ja nimittäjän tekijämuodossa, voimme supistaa murtolausekkeen. Murtofunktioilla tämä tarkoittaa, että osoittajalla ja nimittäjällä on ainakin yksi yhteinen nollakohta.

Esimerkki 3

Supista murtolauseke

Ratkaisu

Jaetaan osoittaja ja nimittäjä tekijöihinsä

Esimerkki 4

Supista funktion  f lauseke ja piirrä sen kuvaaja.

Funktion määrittelyehto x ≠ 3

Osoittajan nollakohdat x = 3 tai x = –1

Funktion kuvaaja on nouseva suora, jossa on aukko kohdassa x = 3. Tämä on yksittäinen piste niin esimerkiksi GeoGebralla piirrettäessä aukkoa ei näy. Kuvaan on merkitty avoin piste erikseen.

Rationaaliyhtälö

Rationaaliyhtälöä ratkaistaessa tulee huomioida määrittelyehto.  Murtolausekkeiden käsittelyssä pätee samat työkalut kuin murtoluvuillakin.

Esimerkki 5

Ratkaise yhtälö

Yhtälön määrittelyehdot saadaan nimittäjien nollakohdista.: x ≠ –2 ja x ≠ 1

Sievennetään yhtälöä laventamalla

Esimerkki 6

Ratkaise funktion nollakohdat

Määrittelyehto nimittäjän nollakohdista x ≠ –1 ja x ≠ 1

Merkitään yhtälö ja ratkaistaan se

Toisen asteen yhtälön ratkaisut 

Näistä vain x = 2 toteuttaa määrittelyehdon. Nollakohta on siis x = 2.

Harjoituksia