Rationaaliyhtälö

Suorita MAA2-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.

Rationaalifunktio

Rationaalifunktio on muotoa

Rationaalifunktion nollakohdat määräytyvät osoittajan nollakohtien mukaan. Nimittäjän nollakohdissa funktiolla on epäjatkuvuuskohta, ja funktio ei ole määritelty.

Esimerkki 1

Määritä funktion f määrittelyjoukko.

Määrittelyjoukko

Funktion määrittelyjoukko on sellaiset muuttujan x arvot, joilla funktion arvo on mahdollista laskea.

Ratkaisu

Nollalla ei voida jakaa, joten funktio ei ole määritelty niillä muuttujan x arvoilla, joilla nimittäjä on 0. 

Funktion f määrittelyehto

Joten määrittelyjoukko on reaaliluvut poistettuna luku 2

Funktion kuvaaja koostuu kahdesta osasta ja kohdassa 2 sitä ei ole määritelty.

Funktion nollakohdat määräytyvät vain osoittajan nollakohtien mukaan.

Esimerkki 2

Määritä funktion f nollakohdat

Ratkaisu

Merkitään yhtälö

Määrittelyehto

Nollakohdat määräytyvät osoittajan mukaan

Molemmat ratkaisut kelpaavat.

Nollakohdat nähdään myös kuvaajan avulla.

Rationaalilausekkeen sieventäminen

Murtolausekkeita voidaan supistaa, jos sekä osoittaja että nimittäjä ovat tulomuodossa ja niillä on yhteisiä tekijöitä.

Tämä toimii tietenkin kaikilla murtolausekkeilla. 

Jos voimme ilmoittaa osoittajan ja nimittäjän tekijämuodossa, voimme supistaa murtolausekkeen. Murtofunktioilla tämä tarkoittaa, että osoittajalla ja nimittäjällä on ainakin yksi yhteinen nollakohta.

Esimerkki 3

Supista murtolauseke

Ratkaisu

Jaetaan osoittaja ja nimittäjä tekijöihinsä

Esimerkki 4

Supista funktion  f lauseke ja piirrä sen kuvaaja.

Funktion määrittelyehto x 3

Osoittajan nollakohdat x = 3 tai x = 1

Funktion kuvaaja on nouseva suora, jossa on aukko kohdassa x = 3. Tämä on yksittäinen piste niin esimerkiksi GeoGebralla piirrettäessä aukkoa ei näy. Kuvaan on merkitty avoin piste erikseen.

Rationaaliyhtälö

Rationaaliyhtälöä ratkaistaessa tulee huomioida määrittelyehto.  Murtolausekkeiden käsittelyssä pätee samat työkalut kuin murtoluvuillakin.

Esimerkki 5

Ratkaise yhtälö

Yhtälön määrittelyehdot saadaan nimittäjien nollakohdista.: x –2 ja x 1

Sievennetään yhtälöä laventamalla

Molemmat ratkaisut kelpaa, sillä ne toteuttaa määrittelyehdot.

Esimerkki 6

Ratkaise funktion nollakohdat

Määrittelyehto nimittäjän nollakohdista x 1 ja x 1

Merkitään yhtälö ja ratkaistaan se

Toisen asteen yhtälön ratkaisut 

Näistä vain x = 2 toteuttaa määrittelyehdon. Nollakohta on siis x = 2.

Harjoituksia

1. ratkaise yhtälö

Vihje

Lavenna samannimisiksi. Muista määrittelyehto.

2. Määritä funktion nollakohdat sekä  f(x) = 1 ja f(x) = 2

Vihje

Muodosta yhtälöt. Huomioi määrittelyehto.

3. Ratkaise yhtälö

Vihje

Lavenna vain jälkimmäinen murtolauseke.

4. Ratkaise yhtälö

YO lyhyt 1970k/1

Vihje

Tulon nollasääntö

5. Ratkaise yhtälö

YO pitkä 1993k/1

Vihje

Kerro ristiin

6. Ratkaise yhtälö vakion a kaikilla reaaliarvoilla

YO pitkä 1993k/5

Vihje

Huomioi määrittelyehto. Jos joudut jakamaan termillä, jossa on mukana vakio a, muista tarkistaa mitä tapahtuu, jos jakaja on 0.

7.  Ratkaise yhtälö

YO pitkä 1996s/1

Vihje

Mikä on yhtälön määrittelyehto?

8. Ratkaise yhtälö

YO pitkä 1998s/1

Vihje

Kerro nimittäjällä yhtälöä.

Osion perustehtävät