Aritmeettinen summa

Kun lasketaan äärellinen määrä aritmeettisen jonon jäseniä yhteen saadaan aritmeettinen summa

Kun lasketaan n määrä jäseniä yhteen, tarvitaan ensimmäinen yhteenlaskettava ja viimeinen yhteenlaskettava sekä yhteenlaskettavien jäsenten lukumäärä.

Lasketaan yhteen 1,2,3,4,5,6,7,8

Huomataan, kun otetaan ensimmäinen ja viimeinen luku

1 + 8 = 9

toinen ja toiseksi viimeinen

2 + 7 = 9

kolmas ja kolmanneksi viimeinen

3 + 6 = 9

ja keskimmäiset luvut

4 + 5 = 9

Summa on 4 kertaa 9 eli 36.

Koska aritmeettinen jono kasvaa aina saman verran, toisesta päästä tarkasteltuna luvut pienenee aina saman verran. Riittääkin siis laskea ensimmäinen ja viimeinen jäsen yhteen ja kertoa se puolella jäsenten lukumäärästä, sillä summissa on aina kaksi jäsentä mukana. Tästä huomiosta tulee ylhäällä oleva summan kaava.

Esimerkki 1

Aritmeettisen jonon ensimmäinen jäsen on 2 ja toinen 5. Laske kymmenen ensimmäisen jäsenen summa.

Esimerkki 2

Aritmeettisen jonon ensimmäinen jäsen on 3. Kun lasketaan yhteen 20 ensimmäistä jäsentä, saadaan summaksi 2760. Mikä on lukujonon 20 jäsen?

Käytetään ratkaisuun summan kaavaa. Tunnemme ensimmäisen jäsenen, jäsenten lukumäärän ja summan. Ainoa tuntematon on 20. jäsen.

Ratkaistaan 20. jäsen

Esimerkki 3

Aritmeettisen jonon ensimmäinen jäsen on 1 ja toinen 7. Kuinka monta jäsentä voi laskea yhteen, jotta summa jää alle 600?

Jonon ensimmäinen ja toinen jäsen tunnetaan, joten differenssi on d = 6.

Kysymys on milloin Sn < 600

Muodostetaan yleisen jäsenen lauseke

Sijoitetaan ensimmäinen ja viimeinen jäsen summan lausekkeeseen ja sievennetään se

Nyt saadaan

Ratkaistaan millä arvolla n, summa olisi tasan 600

Kyseessä on järjestysluku, joten vain positiivinen kelpaa. Saimme vastaukseksi 14,48, joten 14 jäsenen summa on alle 600. Jos jäseniä olisi 15, summa menisi jo yli.

Harjoitukset

1. Aritmeettisen jonon ensimmäinen jäsen on 4 ja differenssi 2. Laske 25. ensimmäisen jäsenen summa.

Vihje

Laske ensin 25. jäsen.

2. Aritmeettisen jonon ensimmäinen jäsen on 2 ja toinen 5. Laske kymmenen ensimmäisen jäsenen summa.

Vihje

Laske ensin 10. jäsen.

3. Aritmeettisen jonon ensimmäinen jäsen on 5 ja toinen 7. Laske summa 10. jäsenestä 20. jäseneen.

Vihje

Kuinka monta yhteenlaskettavia jäseniä on?

4. Aritmeettisen jonon viides jäsen on 8 ja seitsemäs jäsen 14. Laske 100 ensimmäisen jäsenen summa.

Vihje

Ratkaise differenssi yleisen jäsenen lausekkeen avulla.

5. Kuinka monta jäsentä pitää laskea yhteen, että jonon summa ylittää 3000. Jonon ensimmäinen jäsen on 8 ja differenssi 4.

Vihje

Muodosta yhtälö summan lausekkeen avulla ja ratkaise n.

6. Liisa-Petteri aloitti kuntoilun. Hän pyöräili ensimmäisen päivänä 2 kilometriä ja lisäsi matkaa kilometrillä joka päivä. Kuinka paljon hän pyöräilee ensimmäisen viikon aikana?

Vihje

Pyöräilymatkat muodostavat aritmeettisen jonon. Laske summa.

7. Suurelle pihamaalle istutetaan 100 puuta siten että ensimmäisen ja toisen puun välimatka on metri. Toisen ja kolmannen on 1,5 metriä. Puiden välimatkaa kasvatetaan aina 0,5 metriä. Mikä on ensimmäisen ja viimeisen puun välinen etäisyys?

Vihje

Puiden välit muodostavat aritmeettisen jonon.

8. Aritmeettisen jonon ensimmäinen termi on 2 ja viimeinen 781. Jonon termien summa on 9775. Kuinka monta jäsentä jonossa on?

Vihje

Muodosta yhtälö summan lausekkeen avulla ja ratkaise n.

9. Aritmeettisen jonon ensimmäinen termi on 1, viimeinen termi on 61, ja jonon termien summa on 961. Mikä on jonon toinen termi?

YO kevät 2009/13

Vihje

Ratkaise ensin jäsenten lukumäärä summan lausekkeen avulla. Tämän jälkeen voit ratkaista differenssin viimeisen termin avulla.

10. Aritmeettisen jonon ensimmäinen termi on 3/2 , toinen on 7 ja viimeinen 117. Laske jonon summa.

YO kevät 2006/11

Vihje

Ratkaise ensin differenssi. Tämän jälkeen saat viimeisen termin avulla yhteenlaskettavien termien lukumäärän.

Osion perustehtävät