Tilavuus
Integrointia voidaan käyttää paljon muuhunkin kuin pinta-alojen laskemiseen. Aina kun meillä on funktio, joka kuvaa sopivasti summattavaa asiaa, saadaan tämän kokonaismäärä laskettua integraalilla. Katsotaanpa, mitä pitää summata, jotta saadaan laskettua kappaleen tilavuus.
Yksinkertaisin esimerkki on tapaus, jossa jokin funktio f(x) “pyörähtää x-akselin ympäri” ja muodostaa “pyörähdyskappaleen”. Otetaan esimerkiksi neliöjuurifunktio
Jos tarkastellaan väliä, missä x saa arvot [0,4], muodostuu funktion pyörähtäessä kyljellään olevan kukkulan mallinen kappale. Tämän tilavuus saadaan jakamalla kappale viipaleisiin x-suunnassa, muodostamalla viipaleelle “tilavuusfunktio”, ja integroimalla sitä nollasta neljään. Piirretään tälläinen viipale kuvaan
Nyt jos meillä olisi kuvassa näkyvän kiekon tilavuus V(x) (funktiona x:n suhteen!), saataisiin tilavuus integraalina
Kiekko on piirretty tiettyyn kohtaan (x) pyörähdyskappaletta. Siinä kohdassa (x) kiekon säde on sama kuin funktion arvo f(x). Koska kyseessä on pyörähdyskappale, on kiekko itse asiassa ympyrälieriö, jonka pohjan pinta-ala on
Jos kiekon paksuus on x, on kiekon tilavuus
Ottamalla raja-arvo, jossa viipaleen leveys menee nollaksi, saadaan pyörähdyskappaleen tilavuudeksi
Eli kun jatkuva funktio f(x) pyörähtää x-akselin ympäri, saadaan näin muodostuneen pyörähdyskappaleen tilavuus välillä [a,b] tilavuusintegraalina
Joskus integrointi tarvitsee tehdä jonkin muun muuttujan suhteen (esim. Pyörähtäminen y-akselin ympäri → integrointi y:n suhteen), jolloin lasku lasketaan kuten aikaisemmin tehdyt pinta-alalaskut y-akselin suhteen [funktio käännetään ensin muotoon x(y)].
Huomaa ettei tilavuuslaskussa tarvita itseisarvomerkkejä funktion ympärille, sillä toinen potenssi pitää huolen integroitavan funktion positiivisuudesta. Tästä syystä ei myöskään tarvitse tutkia nollakohtia ja jakaa funktiota positiivisiin ja negatiivisiin palasiin, kuten tehtiin pinta-alaa laskettaessa.
Esimerkki 1: Funktio f(x) pyörähtää x-akselin ympäri välillä [0,4]. Laske muodostuneen kappaleen tilavuus.
Aina kappale ei ole pyörähdyskappale, tai sitten pyörähtävää funktiota ei tunneta. Tällöinkin tilavuus saadaan samalla ajatuksella, kunhan osataan muodostaa “viipaleen pinta-ala” eli pinta-alafunktio A(x).
Tälläisiä tilavuusintegraaleja tutkitaan “Sovellukset”-luvussa.
Vaikeampia tehtäviä saa aikaiseksi esimerkiksi käyttämällä kahta eri funktiota, jotka kumpikin pyörähtävät akselin ympäri.
Esimerkki 2: Funktioiden f(x)=2x+1 ja g(x)=4-x² ja x-akselin rajaama alue pyörähtää x-akselin ympäri. Laske syntyvän kappaleen tilavuus
Hahmotellaan ensin kuvaajaa
f(x) on nouseva suora ja g(x) on alaspäin aukeava paraabeli. Kun alue pyörähtää x-akselin ympäri, alkuosassa alueen ylärajan määrittää f(x) ja loppuosassa g(x). Siis aina se funktio, jonka itseisarvo on pienempi. Integraali pitää laskea kahdessa osassa, väleillä [0,B] ja [B,2], missä B on käyrien leikkauspisteen x-koordinaatti ja 2 on funktion g(x) positiivinen nollakohta [ratkaise se itse].
Funktioiden leikkauspisteet saadaan yhtälöryhmästä joko CAS-laskimella tai käsin:
Meitä kiinnostava leikkauspiste on siis x=1 ja integraaliksi saadaan
Seuraavaksi pitää avata sulut ja laskea molemmat integraalit. Integraaliin tulee x:n neljättä potenssia ja laskusta muutenkin pitkähkö, joten lasketaan vaihtelun vuoksi tämä geogebran CAS-laskimella.
Tilavuus on siis
