Polynomifunktion derivointi
Derivaatta kertoo funktion muutosnopeuden
Derivoinnissa voimme käyttää derivoimissääntöjä.
Derivoimissäännöt ovat seuraavat. Näissä D tarkoittaa derivaattaa.
Eksponentti tuodaan eteen kertoimeksi ja pienennetään eksponenttia yhdellä.
Pelkän muuttujan derivaatta on 1.
Termin kerroin voidaan ottaa derivaatan eteen. Ensimmäisen asteen termin derivaataksi tulee vain termin kerroin.
Vakion derivaatta on 0.
Tämän lisäksi polynomifunktio derivoidaan termi kerrallaan.
Esimerkki 1
Eksponentti eteen kertoimeksi ja pienennetään yhdellä.
Eksponentti eteen kertoimeksi ja pienennetään yhdellä.
Pelkän x:n derivaatta on 1, joten ensimmäisen asteen termistä jää derivoitaessa vain kerroin.
Kaikki vakiot menevät derivoitaessa nollaksi.
Esimerkki 2
Muodosta funktion f derivaattafunktio
Ratkaisu
Derivoidaan termi kerrallaan
Eksponentti 3 putoaa eteen kertoimeksi ja pienenee yhdellä.
Eksponentti 2 putoaa eteen kertoimeksi ja pienenee yhdellä
Muuttujan x derivaatta on 1.
Vakion derivaatta on 0.
Esimerkki 3
Derivoidaan funktiot f, g ja h
Derivoidaan jokainen funktio termi kerrallaan. Derivaatoiksi saadaan.
Harjoituksia
1. Muodosta funktioiden f ja g derivaattafunktiot.
Vihje
Derivoimissäännöt
2. Muodosta funktioiden f ja g derivaattafunktiot.
Vihje
Derivoimissäännöt
3. Määritä derivaattafunktion nollakohta, eli f'(x) = 0
Vihje
Derivoimissäännöt
4. Derivoi funktio
Vihje
5. Millä muuttujan x arvoilla f'(x)=2?
Vihje
Derivoi
6. Millä vakion b arvoilla f'(1)=2
Vihje
Derivoi ja sijoita
7. Määritä derivaatan nollakohta
Vihje
Avaa sulkeet. (Binomin neliö)
8. Millä muuttujan x arvoilla derivaatta on negatiivinen?
Vihje
Derivaatan nollakohdat ja kuvaaja
9. a) Olkoon f(x)=2x² − 2x − 4. Ratkaise yhtälö f'(x) = 0.
b) Alla olevassa kuviossa on polynomifunktion g(x) kuvaaja. Ratkaise yhtälö g'(x)=0. Perustele vastauksesi kuvion avulla.
c) Millä muuttujan x arvoilla sekä f'(x) että g'(x) ovat pienempiä kuin nolla?
YO 2018 kevät
Vihje
b) Milloin tangentin kulmakerroin on 0?
10. Määritellään funktio f(x)
a) Laske f(1).
b) Laske f′(2).
YO syksy 2016
Vihje
b-kohdassa derivoi
11. Laske derivaatta f'(1), kun f(x) = x(x+2)-5
YO kevät 2013
Vihje
Avaa sulkeet
12. Määritä funktion f(x) derivaatta kohdassa x = 0
YO syksy 2012
Vihje
Avaa sulkeet
13. Tarkastellaan funktiota f(x)
a) Laske funktion f(x) nollakohdat.
b) Määritä derivaatta f'(x).
c) Laske derivaatan nollakohdat.
YO kevät 2012
Vihje
a) Tulon nollasääntö
b) Avaa sulkeet
14. Määritä se toisen asteen polynomi P, joka toteuttaa yhtälön P(x) - P'(x) = x²
YO Pitkä kevät 1975
Vihje
Merkitse P(x) = x² + bx + c
15. Millä muuttujan x arvoilla on f'(x) > g'(x)?
YO kevät 2011
Vihje
Derivoi ja muodosta epäyhtälö
16. Millä parametrien b ja c arvoilla paraabelin y = -x² + bx + c huippu on pisteessä (2,1)?
Perustele vastauksesi derivaatan avulla.
YO syksy 2021
Vihje
Paraabelin huippu on derivaatan nollakohdassa.