Suorita lukio-opintoja kesällä etänä Eirassa!

Sovelluksia 2

Suorita MAA6-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.

Tässä kappaleessa tutustutaan juuri-, eksponentti- ja logaritimifunktioihin liittyviin sovellustehtäviin

Esimerkki 1

Erään nettisivuston kävijämäärä kasvaa keskimäärin 1,7 prosenttia viikossa.

a) Kuinka monta prosenttia kävijämäärä kasvaa vuodessa?

b) Kuinka monen vuoden kuluttua kävijämäärä on kasvanut satakertaiseksi?

c) Jos tarkastelun jakson alussa sivustolla on 1200 kävijää mikä on kävijämäärän kasvunopeus kahden vuoden kuluttua?

Merkitään kävijämäärää tarkastelujakson alussa kirjaimella a.

a) Vuoden kuluttua kävijämäärä on

Kävijämäärä on tullut 2,4-kertaiseksi. Kävijämäärä on siis kasvanut 140 prosenttia

Kävijämäärä on tullut satakertaiseksi 273 viikon kuluttua eli noin viiden vuoden ja kolmen kuukauden kuluttua.

c) Derivoidaan kävijämäärän funktion lauseke

Kävijämäärä kasvaa kahden vuoden kuluttua noin 125 kävijällä viikossa.

Esimerkki 2

Tasakylkisen kolmion kylkien pituus on 3. Määritä kolmion suurin mahdollinen pinta-ala.

Merkitään kolmion kannan puolikasta kirjaimella x. Muuttuja x voi vaihdella välillä [0,3] Ratkaistaan kolmion korkeus h ja muodostetaan kolmion pinta-alan lauseke.

Pinta-alan suurimman arvon määrittämiseksi muodostetaan funktion A(x) derivaatta ja määritetään derivaatan nollakohdat. Tässä voisi käyttää tulofunktion derivaatan kaavaa

(fg)’=f’g+g’f mutta esitetään tässä toinen ratkaisu. Viedään x neliöjuuren sisälle, jonka jälkeen riittää tarkastella neliöjuuren sisällä olevaa lauseketta

Nyt funktio A(x) saa suurimman arvonsa kun juuren sisällä oleva lauseke saa suurimman arvonsa. merkitään g(x):llä Juurrettavaa lauseketta ja ratkaistaan sen derivaatan nollakohdat

x ei voi olla negatiivinen, joten negatiivinen juuri voidaan jättää huomioimatta. Funktion A(x) suurin arvo saavutetaan derivaatan nollakohdassa tai välin päätepisteissä.

Kolmion pinta-alan suurin mahdollinen arvo on 9/2. Piirretään vielä pinta-ala funktion kuvaaja.

Harjoituksia

1. Tasakylkisen kolmion kolmen sivun summa on 8. Määritä kolmion suurin mahdollinen pinta-ala.

Vihje

Merkitse kylkiä x.

2. Tie kulkee koordinaatiston x-akselia pitkin. Koordinaatiston muu osa on vaikeakulkuista maastoa. Muualla kuin tiellä kulkiessa matka-aika kaksinkertaistuu. Miten tulisi reitti valita, kun pisteestä (4,0) pitäisi päästä mahdollisimman nopeasti pisteeseen (0,2)

Vihje

Pythagoraan lauseella saat lausekkeen, kun ei kuljeta tietä pitkin.

3. Kahden tontin yhteenlaskettu pinta-ala on 3600 neliömetriä. Määritä tonttien mitat niin, että matka pisteestä A pisteeseen B on mahdollisimman pitkä kulkien tonttien rajalla kulkevaa tietä pitkin.

Vihje

Merkitse sivujen pituuksia neliöissä x ja y.

4. Määritä suorakulmaisen kolmion suurin mahdollinen pinta-ala, kun toisen kateetin ja hypotenuusan yhteenlaskettu pituus on 12.

Vihje

Tuntematon kateetti pythagoraan lauseella.

5. Muodosta funktio suoran y = 3x - 2 etäisyydelle origosta ja määritä origoa lähinnä oleva suoran piste.

Vihje

Suoran pisteen (x,y) etäisyys origosta.

6. Suorakulmion kaksi kylkeä ovat positiivislla koordinaattiakseleilla ja yksi kärki käyrällä y = -ln(3x) + 4. Määritä suorakulmion suurin mahdollinen pinta-ala.

Vihje

Muodosta pinta-alan funktio

7. Tšernobylin vuoden 1986 ydinvoimalaonnettomuuden jälkeen radioaktiivista cesium-137- isotooppia levisi suureen osaan Eurooppaa ja myös Suomeen. Koska tämän isotoopin puoliintumisaika on 30 vuotta, niin tietylle alueelle laskeutuneen isotoopin määrä oli puoliintunut vuoteen 2016 mennessä. Oletetaan, että tietylle alueelle laskeutuneen isotoopin määrä oli y0 vuonna 1986.

a) Määritä alueen cesium-137-isotoopin määrää kuvaavassa funktiossa y(t) = y0e-kt esiintyvä vakio k, kun muuttujana t on aika

vuosina alkaen vuodesta 1986.

b) Minä vuonna kyseistä isotooppia on alueella jäljellä enää 10% vuoden 1986 määrästä?

c) Kuinka suurella nopeudella kyseisen isotoopin määrä vähenee alueella 40 vuotta onnettomuuden jälkeen? Anna vastaus yksikkönä y0/vuosi.

YO syksy 2018

Vihje

c-kohdassa derivoi

8. Tarkastellaa alla olevan paraabelin kaarta. Mikä kaaren piste on kauimpana origosta? Perustele vastauksesi myös muulla tavalla kuin laskimella, esim. derivaatan avulla.

YO syksy 2014

Vihje

Muodosta paraabelin pisteen (x,y) etäisyys origosta.

9. a) Pekka aloittaa kuumeen mittaamisen ajanhetkellä t = 0. Pekan käyttämän mittarin lukema f (t) hetkellä t minuuttia saadaan kaavasta f(t) = 38 – 2e-0,6t celsiusastetta. Kuinka kauan mittausta pitää jatkaa, jotta tulos poikkeaa enintään asteen kymmenesosan arvosta 38,0 celsiusastetta? Anna vastaus minuutin tarkkuudella.

b) Määritä lämpötilan muutosnopeus f ′(3). Anna vastaus yhden desimaalin tarkkuudella.

YO syksy 2014

Vihje

a-kohdassa muodosta ehto. Epäyhtälö.

b-kohdassa derivoi.

10. Suora kulkee kiinteän pisteen (a, b), a > 0, b > 0, kautta ja muodostaa positiivisten koordinaattiakselien kanssa kolmion. Mikä on tällaisen kolmion pienin mahdollinen pinta-ala?

Vihje

Muodosta suoran yhtälö ja hae koordinaattiakselien leikkauspisteet.

Osion perustehtävät

Google Sites

Report abuse