Embedded Files
Suorita lukio-opintoja kesällä etänä Eirassa!
Lukujoukot
Lukujoukot
Luvut jaetaan ryhmiin seuraavasti
Luonnolliset luvut muodostavat joukon luvuista 1,2,3,... (mukaan voidaan ottaa myös luku 0). Luonnolliset luvut ilmoittavat lukumäärän, eli kuinka monta kappaletta jotakin on. Luonnollisia lukuja merkitään N.
Kokonaisluvut sisältävät luonnollisten lukujen lisäksi negatiiviset luvut. Kokonaislukuja merkitään Z.
Rationaalilukuja ovat kaikki luvut, jotka voidaan esittää murtolukuina siten, että sekä osaittaja että nimittäjä ovat kokonaislukuja. Tähän joukkoon sisältyy myös kaikki kokonaisluvut. Rationaalilukuja merkitään Q.
Reaaliluvut pitävät sisällään kaikki edellä olevat luvut ja tämän lisäksi kaikki muut luvut, kuten päättymättömät desimaaliluvut. Luvut, joita ei voida esittää rationaalilukuina, ovat irrationaalilukuja. Reaalilukuja merkitään R.
Lukusuora
Lukusuora
Lukusuora sisältää kaikki reaaliluvut. Lukusuoran luvut kasvavat vasemmalta oikealle.
Alapuolella on lukusuoralle merkitty neliöjuuri kaksi, π, -3/4 sekä päättymätön desimaaliluku -4,1298746....
Itseisarvo
Itseisarvo
Itseisarvo tarkoittaa luvun etäisyyttä nollasta. Itseisarvo on siis aina positiivinen.
Luvun 2 itseisarvo merkittäisiin |2| ja sen arvo olisi 2, sillä luvun 2 etäisyys nollasta lukusuoralla on 2. Myöskin luvun -2 itseisarvo on 2, sillä luvun -2 etäisyys nollasta on 2.
Luvun a itseisarvo on luku a itse, mikäli luku a on positiivinen. Mikäli luku a on negatiivinen on luvun a itseisarvo luvun a vastaluku.
Edellä on sanottu vaikeahkosti itseisarvon määritelmä, joka on merkitty vieressä.
Vastaluku on luku, joka löytyy yhtä etäällä nollasta, mutta toisella puolen. Esimerkiksi luvun -2 vastaluku on 2. Luvun -10 vastaluku on 10. Luvun a vastaluku on -a.
Eräiden lukujen itseisarvoja
|4| = 4 |–4| = 4 |–ℼ| = ℼ |–234| = 234
Merkintä |3-5| tarkoittaa lukujen 3 ja 5 etäisyyttä, joka on 2. Eli
|3 – 5| = |–2| = 2
Lukujen 2 ja -6 etäisyys saadaan itseisarvolla.
|2 – (–6)| = |2+6| = |8| = 8
Jos kahden luvun itseisarvot ovat yhtäsuuret, ovat luvut samoja tai toistensa vastalukuja.
|a| = |b| → a = b tai a = –b
Kokeile
Kokeile
Voit liikuttaa pisteitä A ja B lukusuoralla. Näet A:n itseisarvon, B:n itseisarvon, Sekä A-B:n itseisarvon
Laskujärjestys
Laskujärjestys
Laskujärjestys on aina vasemmalta oikealle. Ensin lasketaan sulut, tämän jälkeen potenssilaskut. Sitten on vuorossa kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle ja viimeisenä yhteen- sekä vähennyslaskut.
Esimerkki 1
Lasketaan 2 · 3 – (3 + 2) + 4 · 2
Esimerkki 2
2 – 5 · 3 + 2 = 2 – 15 + 2 = -13 + 2 = -11
Esimerkki 3
(10 – 5) · 3 + 2 · 2 – 2 · (-2) = 5 · 3 + 4 + 4 = 15 + 4 + 4 = 23
Harjoituksia
Harjoituksia
1. Laske
(3 – 2) · (5+2)
Vihje
Sulkeet ensin
Ratkaisu
(3 – 2) · (5+2) = 1 · 7 = 7
2. Laske
(7 – ( 2 + 2)) · (8 + (5 – 2))
Vihje
Aloita sisimmistä sulkeista
Ratkaisu
(7 – ( 2 + 2)) · (8 + (5 – 2))
= (7 – 4) · (8 + 3)
= 3 · 11
= 33
3. Laske
3 · (2 · 4 – 2 · 3) · (8 – (5 – 2))
Vihje
Laske ensin sulkeiden sisällä olevat kertolaskut
Ratkaisu
3 · (2 · 4 – 2 · 3) · (8 – (5 – 2))
= 3 · (8 – 6) · (8 – (5 – 2))
= 3 · (8 – 6) · (8 – 3)
= 3 · 2 · 5
= 6 · 5
= 30
4. Laske
10 – 2 · 3 + 8 : 2 - 4 · 3 + 15 : 3
Vihje
Aloita vasemmalta ja laske kerto- sekä jakolaskut ensin.
Ratkaisu
10 – 2 · 3 + 8 : 2 - 4 · 3 + 15 : 3
= 10 – 6 + 4 - 12 + 5
= 1
Kahden negatiivisen luvun tulo ja osamäärä on positiivinen
–3 · (–5) = 15
–20 : (–4) = 5
5. Laske
(1 – 7) · (3 – 8) – 10 : (-2)
Vihje
Negatiivisten lukujen tulo ja osamäärä.
Ratkaisu
(1 – 7) · (3 – 8) – 10 : (-2)
= – 6 · (– 5) + 5
= 30 + 5
= 35
6. Laske
a) |7| b) |-13| c) |4| d) |-12|
7. Laske
a) |10-3| b) |-14| + |5| c) |-9| – |-3| d) |-5+4|
8. Laske
a) 3 + |-3| b) |7 – 4| c) |-8| – |-2| d) 1 + |-1|
9. Laske
a) |-6| + |3| b) |-7 + 5|
Lisää tehtäviä osion lopussa.
Reaalilukujen laskulait
1. Vaihdantalaki a + b = b + a, ab = ba
2. Liitäntälaki a + (b + c) = (a + b) + c, a(bc) = (ab)c
3. Osittelulaki a(b + c) = ab + ac
4. Nolla 0 +a = a (a on mielivaltainen)
5. Vastaluku x + a = 0 (merkintä x = -a)
6. Ykkönen 1a = a (a on mielivaltainen)
7. Käänteisluku xa = 1 (merkintä x = 1/a, a ≠ 0)
Google Sites
Report abuse