Yhteenlaskusääntö
Aiemmin käytiin läpi, että todennäköisyyslaskennassa “JA” tarkoittaa kertolaskua. Nyt otetaan käyttöön tieto, että “TAI” tarkoittaa yhteenlaskua, kuten otsikosta voi jo päätellä. Todennäköisyyslaskennan historia nähdään alkaneen ranskalaisten matemaatikkojen Pierre Fermat (1601 – 1655) ja Blaise Pascal (1623 – 1662) uhkapeleihin liittyvästä kirjeenvaihdosta. Tästä historiallisesta syystä todennäköisyyslaskennan tehtävät liittyvät usein uhkapeleihin. Alla on kuva korttipakasta
Johdanto-esimerkki. Laske todennäköisyys, että korttipakasta nostettu kortti on
a) pata.
b) kuningas.
c) pata ja kuningas (eli patakuningas).
d) pata tai kuningas.
a) Patoja on yhteensä 13 ja korttipakassa on 52 korttia, joten
b) Kuninkaita on yhteensä 4 kappaletta ja kortteja yhteensä 52, joten
c) Patakuninkaita on yhteensä 1 kappale ja kortteja yhteensä 52, joten
d)
Tehtävässä laskettiin ensin yhteen todennäköisyydet sille, että kortti on pata, tai että kortti on kuningas. Tästä vähennetään vaihtoehto patakuningas, koska se laskettaisiin muuten kahteen kertaan. Patakuningas kuuluu sekä patoihin, että kuninkaisiin.
Yleinen yhteenlaskusääntö
Jos tapahtumilla A ja B on yhteisiä alkeistapauksia, niin
Riippumattomien tapahtumien yhteenlaskusääntö
Jos tapahtumilla A ja B ei ole yhtään yhteistä alkeistapausta, niin
Esimerkki 1. Luokan 30 oppilaasta 10 harrastaa musiikkia, 8 liikuntaa ja 3 molempia. Laske millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu oppilas harrastaa musiikkia tai liikuntaa?
Tapahtumat “harrastaa musiikkia” ja “harrastaa liikuntaa” eivät ole toisistaan riippumattomia, koska niillä on yhteisiä alkeistapauksia “harrastaa musiikkia ja liikuntaa”.
Merkitään:
A = “harrastaa musiikkia”
B = “harrastaa liikuntaa”
Käytetään yleistä yhteenlaskusääntöä apuna ja saadaan todennäköisyydeksi
Vastaus: Satunnaisesti valittu oppilas harrastaa liikuntaa tai musiikkia todennäköisyydellä 0,50
Esimerkki 2. Laatikossa on viisi vihreää, kuusi punaista ja kolme sinistä palloa. Millä todennäköisyydellä nostat laatikosta sokkona vihreän tai punaisen pallon?
Kaikkiaa palloja on 5 + 6 + 3 = 14 kappaletta. Muodostetaan todennäköisyyslasku käyttäen tietoa siitä, että “TAI” tarkoittaa plus merkkiä.
Vastaus: Todennäköisyys että nostat laatikosta sokkona joko vihreän tai punaisen pallon on 11/14.
Esimerkki 3. Istutat kaksi siementä joista siemenen A itämisprosentti on 80% ja siemenen B 60%. Millä todennäköisyydellä toinen siemenistä itää?
P(“A itää”) = 0,80 P(“A ei idä”) = 0,20
P(“B itää”) = 0,60 P(“B ei idä”) = 0,40
Muodostetaan todennäköisyyslasku käyttäen tietoa että “TAI” tarkoittaa plusmerkkiä ja “JA” tarkoittaa kertomerkkiä.
Vastaus: Todennäköisyys sille, että toinen siemenistä itää on 0,44
Esimerkki 4. Laatikossa on viisi vihreää, kuusi punaista ja kolme sinistä palloa. Millä todennäköisyydellä laatikosta nostetaan sokkona kaksi samanväristä palloa?
Kaikkiaa paloja on 5 + 6 + 3 = 14 kappaletta. Muodostetaan todennäköisyyslasku käyttäen tietoa siitä, että “TAI” tarkoittaa plus merkkiä ja “JA” kertomerkkiä. Laskussa otetaan huomioon myös ensimmäisen noston vaikutus toisen noston todennäköisyyteen.
Vastaus: Todennäköisyys, että saadaan kaksi samanväristä palloa on 3/14.
Esimerkki 5. Per-Ulf Heiskanen on todennut, että työmatkan varrella liikennevalot näyttävät vihreää 70% todennäköisyydellä. Valot toimivat toisistaan riippumatta. Työmatkan varrella on kolmet liikennevalot. Millä todennäköisyydellä Per-Ulf joutuu pysähtymään liikennevaloissa tasan yhden kerran työmatkansa aikana.
P(“vihreä”) = 0,70
P(“punainen”) = 0,30
Liikennevaloista punainen voi olla ensimmäinen, toinen tai kolmas matkalla olevista valoista. Vaihtoehtoja on siis kolme kappaletta ja jokaisen todennäköisyys on sama.
Vastaus: Todennäköisyys, että Per-Ulf joutuu pysähtymään yhden kerran valoissa on noin 0,44