Eksponentiaalinen malli
Mikäli jokin muuttuu yhtä monta prosenttia samassa ajassa, on muutos eksponentiaalista. Se voi olla kasvua, kuten eläinpopulaation kasvu tai säästötilin saldo, jolle maksetaan vuosittain korkoa tai se voi olla vähenemistä, kuten radioaktiivinen hajoaminen tai lääkkeen määrä elimistössä.
Esimerkki 1
Säästötilille tehdään 1000 € talletus. Talletukselle maksetaan 2,0 % vuosikorko.
Muodostetaan eksponentiaalinen malli kuvaamaan talletuksen määrää x vuoden kuluttua.
Vuodessa talletus tulee 1,02-kertaiseksi. Joka vuosi tilillä oleva raha kerrotaan luvulla 1,02
Muodostetaan funktio f, joka ilmaisee tilillä olevan rahamäärän x vuoden kuluttua.
Nyt voimme selvittää esimerkiksi kuinka paljon tilillä on rahaa 10 vuoden kuluttua
Tai kuinka monta vuotta kestää, että tilillä on 2000 €?
Ratkaisu GeoGebralla
Yhtälön ratkaisu käyttäen logaritmia.
Kestäisi siis 35 vuotta, että tilin saldo olisi 2000€
Eksponentiaalinen kasvaminen tapahtuu monesti nopeasti todella suureksi.
Esimerkki 2
Liisa-Petteri sai töitä maatalouslomittajana vaikka hänellä ei ollut kokemusta juuri lainkaan. Asian ratkaisi palkkatoive. Hän pyysi ensimmäiseltä viikolta palkkaa 1 € ja seuraavalta 2 €. Hän pyysi, että palkka tuplaantuisi joka viikko kolmen kuukauden ajan. Tämän jälkeen se pysyisi samana. Eihän tuo ole juuri mitään, mietti työnantaja ja allekirjoitti sopimuksen.
Kuinka paljon Liisa-Petterin viikkopalkaksi lopulta tuli kolmen kuukauden jälkeen?
Ensimmäiseltä viikolta palkka on 1 € ja tuplaantumisia tapahtuu 12 kappaletta, jolloin palkka on
Euron lähtöpalkka muuttui 4096 € palkaksi vain kolmessa kuukaudessa. Tämähän oli viikkopalkka, joten kuukaudessa Liisa-Petteri sai 16384 €.
Esimerkki 3
Vereen imeytyneen kofeiinin määrä puolittuu noin 5 tunnissa. Yhdessä 1,5 l pullossa kolajuomaa on 195 milligrammaa kofeiinia. Kofeiini imeytyy nopeasti vereen ja maksimivaikutus on nähtävissä noin puolen tunnin kuluttua. Oletetaan, että puolen tunnin kuluttua koko 195 mg kofeiinia on veressä.
Kuinka paljon kofeiinia on veressä 10 tunnin kuluttua maksimivaikutuksesta?
Puolittumisia tapahtuu kymmenessä tunnissa kaksi, joten kofeiinia on jäljellä neljäsosa, eli 48,75 mg.
Kofeiinin puolittumista kuvaava malli olisi
Funktiossa t on aika maksimivaikutuksesta. 10 tunnin kuluttua
Funktion avulla voimme selvittää esimerkiksi kuinka kauan kestää, että kofeiinia on jäljellä alle 10 mg.
Katso miten tehtävä ratkaistaan.
Jotta kofeiinia on jäljellä alle 10 mg, kestää se noin 21 ja puoli tuntia.
Lineaarisen ja eksponentiaalisen mallin ero
Lineaarinen kasvu on suoraviivaista kasvua, eli kasvu on aina yhtäsuuri tasaisilla tarkastusväleillä. Eksponentiaalinen kasvu taas kasvaa yhtä monta prosenttia tasaisilla tarkastusväleillä. Lineaarinen muutos on tasaista ja eksponentiaalinen muutos on suhteellista.
Esimerkki 4
Absurdistanin väkiluku oli vuonna 2010 1,3 miljoonaa. Vuonna 2020 väkiluku oli 1,5 miljoonaa. Kuinka paljon oli vuosittainen kasvu, jos kasvu oli
a) lineaarista
b) eksponentiaalista?
Ratkaisu
Lineaarisessa kasvussa väkiluku kasvaa yhtä monella henkilöllä vuosittain. Vuosia on kymmenen, joten vuosittainen kasvu
Väkiluku kasvoi 20000 hengellä vuosittain, jos kasvu oli lineaarista.
Eksponentiaalisessa kasvussa väkiluku kasvaa yhtä monta prosenttia vuosittain. Vuosittainen kasvu
1,014 = 101,4 %, joten vuosittainen kasvu on ollut 1,4 %, jos kasvu on ollut eksponentiaalista.
Jos merkitsemme muuttajalla x vuosia saamme kasvulle mallit
f(x) on lineaarinen malli ja g(x) on eksponentiaalinen malli.
Mikäli x on negatiivinen, saamme väkiluvun selville ennen vuotta 2010, mikäli kasvu on myös silloin ollut samansuuruista.
Harjoituksia
1. Talletustilillä on 1,5 % korko. Muodosta funktio, joka kuvaa tilillä olevaa talletuksen määrää, kun tilille talletetaan 2000 €.
a) Kuinka paljon tilillä on rahaa 10 vuoden kuluttua?
b) Kuinka kauan kestää, että tilillä on 3000 €?
Tilille ei tehdä talletuksia tai sieltä ei nosteta rahaa.
Vihje
Muodosta funktio, joka kuvaa tilillä olevaa rahaa. Muista kasvukerroin.
2. Talletustilin korko on 5,0 %. Kuinka paljon tilille pitää tallettaa, jotta 10 vuoden talletuksen jälkeen tilillä olisi 10 000€?
Vihje
Muodosta yhtälö ja ratkaise GeoGebralla.
3. Määritä
a) f(10)
b) f(-10)
c) f(x) = 50000
Kun funktio on
Vihje
Syötä funktio GeoGebraan.
4. Liisa-Petterillä oli 100 oravaa ja hän kasvatti orava kokoelmaansa joka päivä 5 %. Klaus-Heidilla oli 120 oravaa ja hän kasvatti omaa kokoelmaansa kahdella oravalla päivittäin. Muodosta molempien kokoelmien kasvumallit. Ratkaise Geogebralla kuinka kauan kestää, että Liisa-Petterin kokoelma on suurempi kuin Klaus-Heidin.
Vihje
Toinen on lineaarinen ja toinen eksponentiaalinen.
5. Arvioidaan, että Liisa-Petterin kotikaupungin Manttijuun asukasluku kaksinkertaistuu seuraavan 10 vuoden aikana. Kuinka paljon asukasluku kasvaa vuosittain, kun kasvu on eksponentiaalista?
Vihje
Merkitse asukaslukua alussa a, jolloin se on lopussa 2a.
6. Liisa-Petteri työskenteli iskusotilaana Kuolemantähdellä. Vuosittainen palkankorotus oli 2,5 %. Kuinka monta prosenttia palkka kasvaa 5 vuoden aikana?
Vihje
Laske kerroin, jolla palkkaa pitää kertoa, että se vastaa palkkaa 5 vuoden jälkeen.
7. Piirrä funktioiden f ja g kuvaajat ja määritä millä muuttujan x arvolla funktioiden arvot ovat yhtäsuuret.
Vihje
voit ratkaista f=g
8. Liisa-Petteri nukkui 8 tunnin 30 minuutin yöunet vuonna 2017. Vuonna 2022 hän nukkui 7 tunnin 45 minuutin yöunet.
Mikä on ensimmäinen vuosi, jolloin hän nukkuu alle 6,5 h yöunet, jos unen määrä laskee
a) eksponentiaalisesti
b) lineaarisesti
vuosittain?
Vihje
Määritä a-kohdassa vuosittainen kerroin ja b-kohdassa minuuttimäärä.
9. Liisa-Petterin YouTube kanavalla oli tammikuussa 200 tilaajaa. Toukokuussa tilaajia oli 450. Ennusta joulukuun tilaajamäärä, jos kasvu on
a) eksponentiaalista
b) lineaarista.
Vihje
Muodosta kuukausittainen muutos.
10. "Hiilen radioaktiivista isotooppia C-14 muodostuu ilmakehän typestä kosmisen säteilyn vaikutuksesta. Ilmakehässä radiohiili yhdistyy happeen muodostaen hiilidioksidia, joka fotosynteesin kautta joutuu eliöihin ja edelleen ravintoketjujen kautta myös kasveja syöviin eläimiin ja petoeläimiin. Hiili-14 on radioaktiivinen aine ja sen konsentraatio ilmakehässä on suunnilleen vakio. Eläessään eliö saavuttaa metabolisen tasapainon C-14:n suhteen. Eliön kuollessa radiohiilen saanti ilmakehästä tyrehtyy. Hiili-14:n puoliintumisaika on noin 5 700 vuotta, minkä vuoksi eliön kuoltua puolet siinä olleista radiohiiliatomeista hajoaa noin 5 700 vuodessa, jäljellä olevista puolet taas seuraavissa noin 5 700 vuodessa ja niin edelleen. Niinpä mittaamalla näytteessä jäljellä olevan radiohiilen osuus kaikesta hiilestä voidaan arvioida esineen ikä. "
Wikipedia: https://fi.wikipedia.org/wiki/Radiohiiliajoitus
Liisa-Petteri löysi takapihaltaan muinaisesineen. Radiohiilimittauksessa sen aktiivisen radiohiilen määrä oli 9%. Kuinka vanha esine oli?
Vihje
Tallenna vuosittainen vähenemiskerroin muuttujan a GeoGebrassa. Ratkaise sitten yhtälö, jossa määrä on enää 9%.
Vanhoja YO-tehtäviä
Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen.
1. Hyttysten määrä oli kesätapahtuman alkaessa klo 16.00 noin 80, tuntia myöhemmin noin 120 ja klo 19.00 noin 270. Oletetaan, että hyttysten määrä noudattaa eksponentiaalisen kasvun mallia.
a) Arvioi mallin perusteella hyttysten määrää tilaisuuden päättyessä klo 20.00.
b) Mikä seuraavista lausekkeista kuvaa parhaiten hyttysten määrää, kun aikaa t mitataan tunteina tilaisuuden alusta lähtien:
Perustele vastauksesi.
Syksy 2018
a) noin 400
b) keskimmäinen
2. Iiris on löytänyt uuden autonsa arvon alenemista kuvaavan taulukon. Hän syöttää tiedot ohjelmaan, joka piirtää auton arvoa kuvaavat pisteet ajan funktiona yhden vuoden välein. Auton ostaminen tapahtuu taulukossa vuonna 0.
a) Selitä sanallisesti, millä tavalla auton arvo näyttää alenevan ajan funktiona.
b) Muodosta kaava, joka kuvaa sitä, miten taulukon lukuarvot on laskettu. Voit käyttää muotoa an = f(n) olevaa lukujonoa, kun an on auton arvo vuonna n.
c) Kuinka monen vuoden jälkeen auton ostamisesta sen arvo on kaavasi mukaan laskenut alle 2 000 euron?
a) Eksponentiaalinen väheneminen
b) an=4000∙0,8ⁿ
c) 14 vuoden jälkeen
3. Ravintoliuoksessa kasvatettavan bakteeripopulaation yksilömäärä N(t) kasvaa alapuolisen eksponentiaalisen mallin N(t) mukaisesti, kun aika t ilmoitetaan tunteina.
a) Mikä on populaation koko 24 tunnin kuluttua? Anna vastaus tuhannen bakteerin tarkkuudella.
b) Kuinka monta prosenttia populaatio kasvaa jokaisen tunnin aikana?
c) Kuinka monta tuntia kestää, että populaation koko ylittää miljoonan?
Kevät 2015 (muokattu)
a) 212 000
b) 25%
c) 31 h
4. Maalämpöpumppuja myyvän yrityksen liikevaihto kymmenkertaistui kahdessakymmenessä vuodessa. Kuinka monta prosenttia liikevaihto kasvoi vuodessa, kun vuotuinen kasvuprosentti pysyi koko ajan samana? Anna vastaus prosentin kymmenesosan tarkkuudella.
Syksy 2013
12,2%
5. Radioaktiivisen näytteen aktiivisuudeksi mitattiin 25, 0 kBq ja viisi vuorokautta myöhemmin 16, 2 kBq. Laske puoliintumisaika ja näytteen aktiivisuus kymmenen vuorokautta ennen ensimmäistä mittausta. Radioaktiivisuus vähenee eksponentiaalisesti, ja puoliintumisaika on aika, jonka kuluessa aktiivisuus vähenee puoleen.
Kevät 2011
Puoliintumisaika noin 8 vuorokautta, aktiivisuus 10 vuorokautta aikaisemmin 59,5 kBq