Osittaisintegrointi

Osittaisintegrointia voidaan käyttää integraalia muokatessa. Tavoitteena on saada se sellaiseen muotoon, että sen pystyy helposti (tai vähintään aiempaa helpommin) laskemaan.

Osittaisintegroinnin pohjalla on tulon derivointikaava

joka pätee kun f ja g ovat derivoituvia funktioita.

Esimerkki 1. Tämän kaavan mukaan siis esimerkiksi valinnoilla f(x) = x ja g(x) = e^x saadaan

Siirretään hiukan termejä puolelta toiselle:

Integrointiin tätä voidaan käyttää seuraavasti: Integroidaan ylläoleva kaava puolittain:

josta saadaan

Käytännössä tätä käytetään usein määrättyjen integraalien laskemiseen, jolloin integraali ei vain suoraan kumoa derivaattaa, vaan tarvitaan sijoitukset:

Osittaisintegrointi vaatii usein yrittämistä ja erehtymistä sekä rutiinin kasvattamista siitä miten valinnat kannattaa tehdä. Hyvä perusidea on se, että funktioksi f’(x) kannattaa valita sellainen funktio, jonka integrointi on mukavaa, koska myös funktiota f(x) tarvitaan. Funktiona g(x) taas on hyvä olla funktio, joka esimerkiksi yksinkertaistuu derivoinnissa. Valotetaan menetelmää esimerkkien kautta.

Esimerkki 2. Lasketaan Osittaisintegroiden sekä funktion h(x) = xe^x integraalifunktio että määrätty integraali

Aloitetaan integraalifunktion määrittelystä. Osittaisintegroinnissa siis ajatellaan integroitava funktio kahden funktion tulona f'(x)g(x), ja tulossa toinen ajatellaan jonkin muun funktion derivaataksi. Tehdään valinnat

sillä tällöin funktio f' on helppo integroida ja funktio g yksinkertaistuu derivoinnissa. Koska f(x) = e^x(+C) ja g’(x) = 1, saadaan

missä C on integrointivakio.

Kysytty määräinen integraali voidaan laskea ylläolevasta suoraan sijoittamalla tai aloittamalla työ uudestaan alusta. Lopputulos on joka tapauksessa sama. Nyt siis

Jos mieleen jää pienikin epäilys siitä, onko integraali todella laskettu oikein, voi integraalifunktion oikeellisuuden tarkastaa derivoimalla. Esimerkiksi ylläolevan esimerkin mukaan

joka pitää paikkansa, sillä

Kannattaa huomata, että jos ylläolevassa esimerkissä olisimmekin tehneet valinnat

niin olisimme saaneet integraalin muotoon

mikä ei olisi ollut yhtään helpompi laskea kuin alkuperäinen integraali. Osittaisintegroinnista on hyötyä myös esimerkiksi erilaisten trigonometristen integraalien laskemisessa. Otetaan tästäkin esimerkkejä:

Esimerkki 3. Lasketaan määrätty integraali

Tulkitaan aluksi f'(x) = cos x ja g(x) = cos x. Nyt

Ensin saattaa näyttää siltä, että integraali ei ole muuttunut yhtään helpompaan muotoon, vaan ainoastaan yksi trigonometrisen funktion neliö on korvautunut toisella. Tilanne on kuitenkin oikeasti huomattavasti parempi, sillä voimme hyödyntää kaavaa

jolloin saamme muokattua oikean puolen integraalin:

Nyt voidaankin siirtää molemmat kosinin sisältävät integraalit yhtälön vasemmalle puolelle, jolloin saadaan

eli

Tämän integraalin pystyisi laskemaan sujuvasti myös muuttamalla kosinin neliön trigonometrisella identiteetillä muotoon

Osittaisintegrointia voi käyttää myös tuttujen kaavojen johtamiseen:

Esimerkki 4. Todistetaan potenssin integrointikaava

kun n ≥ 1. Tästä yksi erikoistapaus on esimerkiksi

Käsitellään tapaus n = 2 ennen yleisen tapauksen käsittelyä. Kirjoitetaan x² = 1 · x² , missä g(x) = x² , siis g’(x) = 2x sekä f’(x) = 1 ja f(x) = x. Nyt

Siirretään integraalit vasemmalle puolelle, jolloin saadaan

eli

jolloin

missä C₁ on mielivaltainen vakio.

Käsitellään nyt yleinen tapaus. Lähdetään liikkeelle väitteen vasemmasta puolesta ja kirjoitetaan g(x) = xⁿ, eli g’(x) = nx ja f'(x) = 1, jolloin f(x) = x. Siispä

Siirretään integraalit vasemmalle puolelle, jolloin saadaan

Yhdistetään vasemman puolen termit:

jolloin

missä C₁ on mielivaltainen vakio.

Esimerkki 5. Lasketaan integraali

Käytetään osittaisintegrointia. Valitaan g(x) = (ln x)² , jolloin g’(x) = 2/x · ln x sekä f’(x) = 1 ja f(x) = x. Nyt

Valitsemalla nyt g(x) = ln x, jolloin g'(x) = 1/x sekä f'(x) = 1 ja f(x) = x saadaan

Yhteensä saadaan siis

missä D on mielivaltainen vakio

Osittaisintegrointi voidaan myös yhdistää esimerkiksi induktioon, jolloin saadaan todistettua esimerkiksi ns. gammafunktion eräs tunnettu ominaisuus:

Esimerkki 6. Määritellään gammafunktio integraalina

Gammafunktio on funktio, joka voidaan tulkita kertoman yleistyksenä reaali- ja kompleksiluvuille.

https://fi.wikipedia.org/wiki/Gammafunktio

Todistetaan seuraavaksi, että jos n on positiivinen kokonaisluku, niin

Tehdään todistus induktiolla.

Alkuaskel: Osoitetaan, että Γ(1) = 0! = 1.

Huomataan, että

Alkuaskel on siis käsitelty.

Tehdään nyt induktio-oletus:

Induktio-oletus: Γ(k) = (k − 1)! jollain positiivisella kokonaisluvulla k.

Nyt päästään kirjoittamaan induktioväite:

Induktioväite: Pätee Γ(k + 1) = k!.

Todistus. Käytetään integraaliesitystä ja osittaisintegrointia. Kirjoitetaan ensin

Valitaan nyt f’(s) =e^-^s ja g(s) = s^k . Tällöin

Koska

on saatu

Osittaisintegrointi ja arviointi

Eräs osittaisintegroinnin hämmästyttävimmistä ominaisuuksista on, että se mahdollistaa tietyissä tapauksissa erilaisten integraalien tehokkaan arvioinnin, vaikka itse integraalia ei saisikaan laskettua. Valotetaan tätä esimerkin kautta.

Esimerkki 7. Arvioidaan integraalia

kun M on suuri positiivinen reaaliluku. Huomataan aluksi, että jos M on jokin annettu luku, esimerkiksi M = 1000, niin (riittävän kehittyneellä) laskimella saadaan numeerinen arvio. Esimerkiksi

Jos taas yritetään laskea integraali yleisellä reaaliluvulla M, ei integraalille saada mitään mielekästä lauseketta. Tehdään aluksi alkeellisin mahdollinen arvio:

Nyt voidaan tehdä kaksi havaintoa: ensinnäkin on todennäköisesti menetetty melko paljon tarkkuutta, kun sin x on vain arvioitu ylöspäin ykköseen. Todellisuudessahan sin x saa arvoja koko välillä [−1, 1]. Toinen havainto on se, että saatu arvio on huomattavasti heikompi kuin esimerkiksi integraalin arvo, kun M = 1000. Näiden havaintojen perusteella tulee ajatus, että ehkäpä jotain tarkempaa kannattaisi yrittää.

Kokeillaan osittaisintegrointia. Valitaan

Nyt

Kun sievennetään ja tehdään sijoitukset, saadaan

Nyt voidaankin arvioida melko helposti:

Lisäksi voidaan käyttää itseisarvojen avulla arviointia uudessa integraalissa:

Siispä

Kun esimerkiksi M = 1000, saadaankin näin arvio

joka on selvästi parempi arvio kuin ln 2. Ennen kaikkea uusi arvio on siinä mielessä selvästi parempi kuin vanha, että 2/M pienenee, kun M kasvaa, jolloin suurilla luvun M arvoilla se tuottaa yhä parempia arvioita toisin kuin ln 2.