Kosinilause
Suorita MAA3-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.
Mikäli kolmiosta tunnetaan kaikki sivut, mutta ei kulmia tai kaksi sivua ja näiden välinen kulma, ei sinilauseella saada ratkaistua kolmion muita osia.
Yläpuolisessa kolmiossa voidaan korkeus h sanoa kahdella tavalla pythagoraan lauseen avulla.
Tästä saadaan
Tämän lisäksi kolmiosta saadaan
Kun korvaamme x:n aikaisempaan yhtälöön, tulee se muotoon
Tämä on kosinilause.
Kokeile
Voit muuttaa kulman α kokoa liu'ulla ja kylkien kokoa vetämällä punaisesta kärkipisteestä.
Esimerkki 1
Ratkaise sivun x pituus
Käytetään kosinilausetta
Kyseessä on pituus, joten vain positiivinen vastaus kelpaa.
Esimerkki 2
Kolmion kahden sivun pituudet ovat 2,0 ja 3,0 sekä lyhyemmän sivun vastainen kulma on 30°. Laske kolmannen sivun pituus.
Hahmotellaan tilanne ja käytetään kosinilausetta
Ratkaisuja tuli kaksi ja molemmat kelpaavat. Annetuilla tiedoilla muodostuu kaksi mahdollista kolmiota.
Esimerkki 3
Lentokone lähti lentokentältä koiliseen ja 2,8 kilometrin jälkeen se kääntyi suoraan itään jatkaen neljä kilometriä. Kuinka kaukana lentokone oli tuolloin lentokentästä?
Lentoreitti ja etäisyys lentokentästä muodostavat oheisen mukaisen kolmion. Ratkaistaan etäisyys käyttäen kosinilausetta.
Harjoituksia
1. Liisa-Petterin mökiltä pääsi rantasaunaan kulkemalla suoraa tietä pitkin 1500 metriä ja sitten kääntymällä oikealle 125 astetta ja kulkemalla saunatietä vielä 600 metriä. Mökiltä voisi myös kävellä suoraan metsän läpi saunalle. Millä nopeudella metsässä tulisi kävellä, jotta matkaan kuluisi yhtä paljon aikaa kuin tietä pitkin kävellessä? Kävelynopeus tietä pitkin on 5,0 km/h.
Vihje
s=vt, eli matka on nopeus kertaa aika.
2. Liisa-Petteri näki ufon leijailemassa paikoillaan. Hän mittasi laseretäisyysmittarilla, että ufon yläosa oli 694 metrin ja alaosa 641 metrin päässä. Kaltevuuskulmiksi hän mittasi yläosalle 36,5 astetta ja alaosalle 29,9 astetta. Mikä oli ufon korkeus? Kuinka korkealla ufo leijaili?
Vihje
Muodosta kolmio ja ratkaise ylä- ja alaosan välinen kulma.
3. Suunnikkaan sivujen pituudet ovat 30 ja 55 sekä lyhyemmän lävistäjän pituus 40. Laske suunnikkaan suurin kulma asteen tarkkuudella.
Vihje
Laske ensin pienempi kulma kosinilauseella.
4. Taivaalla näkyi kaksi ufoa. Niiden välimatka haluttiin selvittää mittaamalla maasta matka AB = 60 m sekä kulmat α = 120° , β = 40° , γ = 100° ja δ = 80°. Laske ufojen välimatka.
Vihje
Ratkaise pituudet AC ja AD ensin käyttäen muodostuvia kolmioita apuna.
5. Kolmion kaksi sivua ovat 4,00 cm ja 10,0 cm sekä pinta-ala 10,0 cm². Laske kolmion kolmas sivu ja yksi kulmista.
Vihje
Pinta-alan kaavalla saat kulman. Huomioi 2 eri tapausta!
6. Määritä neliön sisällä olevan kolmion kulmien suuruudet.
Vihje
Ratkaise kolmion sivujen pituudet tarkkoina arvoina.
7. kolmion muotoisen saaren sivujen pituudet ovat 200 m, 320 m ja 420 m. Määritä saaren pinta-ala.
Vihje
Ratkaise ensin jokin kolmion kulmista.
8. Viisarikellon minuutti- ja tuntiviisarien kärkien väli on 2,5 cm klo 12.00 ja 5,0 cm klo 9.00.
a) Määritä viisarien pituudet.
b) Kuinka suuri on osoittimien kärkien väli klo 14.00? Anna tulos millimetrin tarkkuudella.
Vihje
Muodosta yhtälöpari. Merkitse viisareita x ja y.
Mikä on viisarien välinen kulma kello 14.00?
9. Kolmion sivujen pituuksien suhde on 4:6:9. Laske kolmion suurin kulma asteen tarkkuudella.
Vihje
Ilmoita sivujen pituudet x:n avulla.
10. Kolmion sivujen pituudet ovat 2n, n2 + 1 ja n2 – 1 , jossa n=2,3,4,... . Laske kolmion suurin kulma.
Vihje
Mikä sivuista on pisin?
Vanhoja Yo-tehtäviä
Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen
1. Kolmion ABC kulman C puolittaja leikkaa sivun AB pisteessä D. Pisteiden välisille etäisyyksille on voimassa CD = 6, AD = 4 ja DB = 3. Määritä kolmion sivujen AC ja BC pituuksien tarkat arvot.
Syksy 2013
AC=8, BC=6
2. Laske oheisessa kuvassa olevan kolmion sivun pituuden a tarkka arvo ja kaksidesimaalinen likiarvo.
√(13-6√3)≈1,61
3. Kaksi matkapuhelinmastoa näkyy paikkaan, jonka etäisyys toisesta mastosta on 5,27 km ja toisesta 3,16 km. Tähtäyssuunnat mastoihin muodostavat 72°50’ suuruisen kulman. Kuinka etäällä mastot ovat toisistaan? Etäisyydet mitataan vaakasuorasti, eikä maaston mahdollisia korkeuseroja oteta huomioon.
Kevät 2000
5,28 km
4. Suunnistaja lähti 1350 m päässä olevalle rastille suuntaan, joka poikkesi 4⁰ rastin suunnasta. Kuinka kaukana rastista suunnistaja oli juostuaan suoraan 1350 m?
Syksy 1997
94 m
Osion perustehtävät