Logaritmi
Suorita MAA5-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.
Logaritmifunktio on eksponenttifunktion käänteisfunktio.
Merkinnässä a on kantaluku. Kantaluku on aina positiivinen ja eri suuri kuin yksi. x on numerus ja aina positiivinen.
Merkinnällä lg tarkoitetaan 10-kantaista logaritmia.
Kaikille positiivisille luvuille a pätee
Logaritmin laskukaavat
Huomaa, että nämä toimivat vain samankantaisille logaritmeille.
Yhtälön, jossa on logaritmi, saa yleensä ratkaistua määritelmän mukaan
Esimerkki 1
Ratkaise
Käytetään logaritmin määritelmää
Joten saadaan
Esimerkki 2
Ratkaise
Määritelmän mukaan
Logaritmin sieventäminen
Logaritmin sieventämisessä käytetään apuna logaritmin laskukaavoja.
Esimerkki 3
Sievennetään 2-kantainen logaritmi luvusta 20.
Ensin merkitään 20 = 4 · 5
Voimme ottaa tulon tekijöistä logaritmit erikseen ja laskea ne yhteen
Luku 4 voidaan esittää luvun 2 potenssina
Numeruksen eksponentti voidaan tuoda eteen kertoimeksi
Logaritmi kantaluvustaan on 1
Esimerkki 4
Sievennetään 3-kantainen logaritmi luvusta 54 miinus 3-kantainen logaritmi luvusta 2.
Voimme yhdistää logaritmit käyttäen logaritmien vähennyskaavaa
Saamme ilmoitettua numeruksen kantaluvun potenssina
Eksponentti tippuu kertoimeksi
Sievennetty muoto on 3
Luonnollinen logaritmi ja luku e
Neperin luku, luku e, on saanut nimensä matemaatikko John Napierin mukaan.
Neperin luku on vakio ja sen likiarvo on noin 2,718 281 828.
Neperin lukua käytettän usein eksponenttifunktion kantalukuna.
Luonnollinen logaritmi on logaritmi, jonka kantalukuna on e.
Luonnolliselle logaritmille pätee samat laskukaavat kuin muillekin logaritmeille.
Luonnollista logaritmi merkitään ln
John Napier 1550 - 1617
Harjoituksia
1. Sievennä
Vihje
Logaritmien vähennys
2. Sievennä
Vihje
Käsittele ensin yhteenlasku
3. Sievennä
Vihje
Vie kertoimet eksponenteiksi
4. Sievennä
Vihje
Sievennä numerus
5. Sievennä
Vihje
Erota vähennyslaskuksi
6. Logaritmi voidaan määritellä erilaisilla kantaluvuilla. Määritelmän mukaan
Vihje
Tee kantaluvun vaihto molemmille puolille
Tälle a-kantaiselle logaritmille pätee kaava
Olkoot x > 0 ja y > 0. Ratkaise y yhtälöstä
YO kevät 2017
7. Sievennä
Vihje
Erota jälkimmäinen laskukaavan avulla. Huomioi merkki!
8. Sievennä
Vihje
Vie kertoimet eksponenteiksi
9. Sievennä
Vihje
Logaritmien vähennyslaskukaava. Sievennä numerus.
10. Sievennä
Vihje
Käsittele ensin vähennyslasku
