Pistejoukon yhtälö
Suorita MAA4-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.
Määritetään kaikki tason pisteet (x,y), jotka ovat yhtä etäällä x- ja y-akselista.
Tällaisia pisteitä on ainakin (1,1), (2,2), (3,3) ja niin edelleen.
Kaikki tällaiset pisteet näyttäisivät muodostavan suoran.
Pistejoukon yhtälö on y=x. Tämä sisältää kaikki pisteet, jotka ovat yhtä etäällä sekä x- että y-akselista.
Esimerkki 1
Pistejoukon yhtälö on 2x + 3y – 6 = 0 Minkä muotoisen kuvaajan pistejoukko muodostaa?
Ratkaisu
Määritetään pistepareja antamalla muuttujalle x arvoja.
Kun x = 0 pistejoukon yhtälö on 3y – 6 = 0, josta saadaan y = 2
Kun x = 3 pistejoukon yhtälö on 6 + 3y – 6 = 0, josta saadaan y = 0
Kun x = 6 pistejoukon yhtälö on 12 + 3y – 6 = 0, josta saadaan y = -2
Saadaan pisteparit (0,2), (3,0) ja (6,-2)
Pisteet osuvat suoraan linjaan. Mikäli jatkaisimme pisteiden laskemista osuisivat ne samaan linjaan. Pistejoukon yhtälön kuvaaja onkin suora.
Kokeile
Voit lisätä pisteitä pistejoukkoon liu'uilla. Saat näkyviin muodostuvan pistejoukon yhtälön klikkaamalla valintaruutua.
Esimerkki 2
Alapuolella on erään pistejoukon yhtälö. Kuuluuko piste (2,3) pistejoukkoon?
Ratkaisu
sijoitetaan piste (2,3) pistejoukon yhtälöön.
Yhtälöstä tulee epätosi, eli piste (2,3) ei kuulu pistejoukkoon.
Esimerkki 3
Mikä tulee olla y pisteessä (2,y), jotta piste kuuluu esimerkin 2 pistejoukkoon?
Ratkaisu
sijoitetaan x=2 pistejoukon yhtälöön.
Pisteet, jotka kuuluvat pistejoukkoon, kun x=2 ovat
Pistejoukon yhtälö pitää sisällään kaikki ne tason pisteet (x,y), jotka toteuttavat yhtälöllä ilmoitetun säännön x:n ja y:n välillä.
Esimerkki 4
Määritä se pistejoukon yhtälö, joiden pisteiden etäisyys pisteestä (2,3) on kaksinkertainen etäisyyteen (1,1) verrattuna.
Ratkaisu
Merkitään pistejoukon pistettä (x,y).
Etäisyys pisteestä (2,3).
Etäisyys pisteestä (1,1).
Tehtävänannon tietojen mukaan
Harjoituksia
1. Määritä se pistejoukon yhtälö, jonka pisteiden etäisyys origosta on 9.
Vihje
Merkitse pistejoukon pistettä (x,y)
2. Piste (2,4) kuuluu pistejoukkoon. Toinen pistejoukkoon kuuluva piste löydetään, jos tunnetusta pisteestä liikutaan 2 yksikön verran positiivisen x-akselin suuntaan ja 4 yksikön verran positiivisen y-akselin suuntaan. Kuuluuko piste (22,48) pistejoukkoon?
Vihje
Merkitse pisteitä koordinaatistoon ja hahmottele kuvaaja. Osuuko kysytty piste kuvaajalle?
3. Pistejoukon yhtälö on 2x + 3y – 4 = 0. Pisteet (x,6) ja (-3,y) kuuluvat pistejoukkoon. Määritä pisteiden koordinaatit x ja y.
Vihje
Sijoita tunnettu koordinaatti yhtälöön.
4. Pistejoukko muodostuu pisteistä, joidein etäisyys pisteestä (1,1) on 3. Piste (3,y) kuuluu pistejoukkoon. Määritä pisteen y-koordinaatti.
Vihje
Muodosta pistejoukon yhtälö.
5. Pistejoukon yhtälö on x + 2y + a = 0. Piste (2a,6) kuuluu pistejoukkoon. Määritä vakio a.
Vihje
Piste toteuttaa pistejoukon yhtälön.
6. Kun pistejoukon x-koordinaatti kerrotaan kahdella ja siihen lisätään pisteen y-koordinaatti, saadaan x ja y -koordinaattien tulo. Piirrä pistejoukon yhtälö GeoGebralla. Tutki kuuluvatko pisteet (-1,1) ja (3,4) pistejoukkoon.
Vihje
Kirjoita yhtälö GeoGebraan.
7. Pistejoukkoon kuuluvat kaikki pisteet, jotka toteuttavat alla olevan parametrimuotoisen yhtälön.
a) Mikä on käyrän piste, kun t = 0? Entä kun t = 3?
b) Mikä on käyrän y-koordinaatti, kun x-koordinaatti on 10?
c) Piirrä yhtälöä kuvaava käyrä GeoGebralla.
Vihje
GeoGebrassa voi piirtää parametrimuotoisen käyrän komennolla käyrä.
8. Käyrän pisteiden y-koordinaatti on yhtäsuuri kuin x kordinaatin ja luvun 4 summan neliö. Muodosta ja sievennä käyrän yhtälö. Piirrä käyrä GeoGebralla.
Vihje
Binomin neliö
9. Käyrän pisteiden koordinaatit ovat x = t + 2 ja y = 2x – 4. Parametri t kuuluu reaalilukuihin. Määritä y-koordinaatti parametrin t avulla sanottuna ja piirrä käyrän kuvaaja GeoGebralla.
Vihje
Sijoita x
10. Alapuolella on kaksi pistejoukon yhtälöä. Tutki onko pistejoukoilla yhteisiä pisteitä, jotka ovat x-akselilla.
Vihje
Mikä on y-koordinaatti, kun ollaan x-akselilla?
