Suorita lukio-opintoja kesällä etänä Eirassa!

Pistejoukon yhtälö

Suorita MAA4-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.

Määritetään kaikki tason pisteet (x,y), jotka ovat yhtä etäällä x- ja y-akselista.

Tällaisia pisteitä on ainakin (1,1), (2,2), (3,3) ja niin edelleen.

Kaikki tällaiset pisteet näyttäisivät muodostavan suoran.

Pistejoukon yhtälö on y=x. Tämä sisältää kaikki pisteet, jotka ovat yhtä etäällä sekä x- että y-akselista.

Esimerkki 1

Pistejoukon yhtälö on 2x + 3y – 6 = 0 Minkä muotoisen kuvaajan pistejoukko muodostaa?

Ratkaisu

Määritetään pistepareja antamalla muuttujalle x arvoja.

Kun x = 0 pistejoukon yhtälö on 3y – 6 = 0, josta saadaan y = 2

Kun x = 3 pistejoukon yhtälö on 6 + 3y – 6 = 0, josta saadaan y = 0

Kun x = 6 pistejoukon yhtälö on 12 + 3y – 6 = 0, josta saadaan y = -2

Saadaan pisteparit (0,2), (3,0) ja (6,-2)

Pisteet osuvat suoraan linjaan. Mikäli jatkaisimme pisteiden laskemista osuisivat ne samaan linjaan. Pistejoukon yhtälön kuvaaja onkin suora.

Kokeile

Voit lisätä pisteitä pistejoukkoon liu'uilla. Saat näkyviin muodostuvan pistejoukon yhtälön klikkaamalla valintaruutua.

Esimerkki 2

Alapuolella on erään pistejoukon yhtälö. Kuuluuko piste (2,3) pistejoukkoon?

Ratkaisu

sijoitetaan piste (2,3) pistejoukon yhtälöön.

Yhtälöstä tulee epätosi, eli piste (2,3) ei kuulu pistejoukkoon.

Esimerkki 3

Mikä tulee olla y pisteessä (2,y), jotta piste kuuluu esimerkin 2 pistejoukkoon?

Ratkaisu

sijoitetaan x=2 pistejoukon yhtälöön.

Pisteet, jotka kuuluvat pistejoukkoon, kun x=2 ovat

Pistejoukon yhtälö pitää sisällään kaikki ne tason pisteet (x,y), jotka toteuttavat yhtälöllä ilmoitetun säännön x:n ja y:n välillä.

Esimerkki 4

Määritä se pistejoukon yhtälö, joiden pisteiden etäisyys pisteestä (2,3) on kaksinkertainen etäisyyteen (1,1) verrattuna.

Ratkaisu

Merkitään pistejoukon pistettä (x,y).

Etäisyys pisteestä (2,3).

Etäisyys pisteestä (1,1).

Tehtävänannon tietojen mukaan

Harjoituksia

1. Määritä se pistejoukon yhtälö, jonka pisteiden etäisyys origosta on 9.

Vihje

Merkitse pistejoukon pistettä (x,y)

2. Piste (2,4) kuuluu pistejoukkoon. Toinen pistejoukkoon kuuluva piste löydetään, jos tunnetusta pisteestä liikutaan 2 yksikön verran positiivisen x-akselin suuntaan ja 4 yksikön verran positiivisen y-akselin suuntaan. Kuuluuko piste (22,48) pistejoukkoon?

Vihje

Merkitse pisteitä koordinaatistoon ja hahmottele kuvaaja. Osuuko kysytty piste kuvaajalle?

3. Pistejoukon yhtälö on 2x + 3y – 4 = 0. Pisteet (x,6) ja (-3,y) kuuluvat pistejoukkoon. Määritä pisteiden koordinaatit x ja y.

Vihje

Sijoita tunnettu koordinaatti yhtälöön.

4. Pistejoukko muodostuu pisteistä, joidein etäisyys pisteestä (1,1) on 3. Piste (3,y) kuuluu pistejoukkoon. Määritä pisteen y-koordinaatti.

Vihje

Muodosta pistejoukon yhtälö.

5. Pistejoukon yhtälö on x + 2y + a = 0. Piste (2a,6) kuuluu pistejoukkoon. Määritä vakio a.

Vihje

Piste toteuttaa pistejoukon yhtälön.

6. Kun pistejoukon x-koordinaatti kerrotaan kahdella ja siihen lisätään pisteen y-koordinaatti, saadaan x ja y -koordinaattien tulo. Piirrä pistejoukon yhtälö GeoGebralla. Tutki kuuluvatko pisteet (-1,1) ja (3,4) pistejoukkoon.

Vihje

Kirjoita yhtälö GeoGebraan.

7. Pistejoukkoon kuuluvat kaikki pisteet, jotka toteuttavat alla olevan parametrimuotoisen yhtälön.

a) Mikä on käyrän piste, kun t = 0? Entä kun t = 3?

b) Mikä on käyrän y-koordinaatti, kun x-koordinaatti on 10?

c) Piirrä yhtälöä kuvaava käyrä GeoGebralla.

Vihje

GeoGebrassa voi piirtää parametrimuotoisen käyrän komennolla käyrä.

8. Käyrän pisteiden y-koordinaatti on yhtäsuuri kuin x kordinaatin ja luvun 4 summan neliö. Muodosta ja sievennä käyrän yhtälö. Piirrä käyrä GeoGebralla.

Vihje

Binomin neliö

9. Käyrän pisteiden koordinaatit ovat x = t + 2 ja y = 2x – 4. Parametri t kuuluu reaalilukuihin. Määritä y-koordinaatti parametrin t avulla sanottuna ja piirrä käyrän kuvaaja GeoGebralla.

Vihje

Sijoita x

10. Alapuolella on kaksi pistejoukon yhtälöä. Tutki onko pistejoukoilla yhteisiä pisteitä, jotka ovat x-akselilla.

Vihje

Mikä on y-koordinaatti, kun ollaan x-akselilla?

Osion perustehtävät

Google Sites

Report abuse