Tulon ja osamäärän derivaatta

Suorita MAA6-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.

Kahden funktion tulo voidaan derivoida käyttämällä tulon derivoimissääntöä

Esimerkki 1

Määritä funktio h derivaatan arvo kohdassa 1

Sen sijaan että kerroittaisiin sulkeet auki, merkitään

Nyt voidaan käyttää tulon derivoimissääntöä

Funktion potenssin derivaatta

Lasketaan funktion f neliön f² derivaatta

Funktion neliö voidaan ilmaista kertolaskuna. Voimme siis käyttää tulon derivoimissääntöä.

Esimerkki 2

Derivoi

Ratkaisu

Edellä saatiin, että D f = 2 · f · f'

Tässä tapauksessa voidaan merkitä f(x) = 2x – 1, jolloin f'(x) = 2.

Funktion g derivaatta

Olisimme voineet toki avata sulut ja derivoida funktio perusderivoimissääntöjen avulla. Käteväksi tämä tulee kun eksponentti on suurempi kuin 2.

Esimerkki 3

Derivoidaan funktion kuutio

Esitetään tulona
Tulon derivoimiskaava
Käytetään hyväksi tulosta funktion neliön derivaatasta
Järjestellään termit
Sievennetään

Tässä voidaan huomata, että potenssi käyttäytyy tässä samalla tavalla kuin perusderivoimissäännöissä. Putoaa eteen kertoimeksi ja pienenee yhdellä. Tämän lisäksi kerrotaan vielä funktion derivaatalla.

Funktion potenssin derivaatta

Esimerkki 4

Derivoi

Ratkaisu

a) Esitetään funktio potenssimuodossa

Derivoidaan potenssin derivoimiskaavalla

b) Esitetään potenssimuodossa

Derivoidaan potenssin derivoimiskaavalla

Osamäärän derivatta

Kahden funktion osamäärä voidaan derivoida käyttäen osamäärän derivoimissääntöä

Esimerkki 5

Määritä funktion h ääriarvokohdat

Nimittäjällä ei ole nollakohtia, joten funktio on määritelty kaikkialla. Derivoidaan funktio käyttäen osamäärän derivoimissääntöä.

Rationaalifunktion nollakohdat määräytyy osoittajan nollakohtien mukaan. Osoittajan nollakohdat ovat x=-1 ja x=3. Nämä ovat funktion ääriarvokohdat. Derivaatan merkki määräytyy osoittajan mukaan, koska nimittäjä on positiivinen kaikilla muuttujan x arvoilla.

Osoittajan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Tehdään funktion h kulkukaavio.