Geometrinen summa
Kun lasketaan äärellinen määrä geometrisen jonon jäseniä yhteen saadaan geometrinen summa
Kun lasketaan n määrä jäseniä yhteen, tarvitaan ensimmäinen yhteenlaskettava jäsen sekä peräkkäisten jäsenten välinen suhdeluku.
Esimerkki 1
Geometrisen jonon ensimmäinen jäsen on 2 ja toinen 6. Laske kymmenen ensimmäisen jäsenen summa.
Esimerkki 2
Geometrisen lukujonon ensimmäinen jäsen on 3 ja suhdeluku q = 2. Kuinka monta jäsentä on jonossa, jonka summa on 1533?
Muodostetaan yhtälö summan lausekkeen avulla
Summan tulee olla 1533
Syötetään yhtälö GeoGebraan
Geogebrassa käytetään muuttujana kirjainta x.
Saimme ratkaisuksi n = 9, eli jonossa on yhdeksän jäsentä.
Yhtälön voi myös ratkaista GeoGebran CAS-toiminnolla.
Esimerkki 3
Geometrisen lukujonon ensimmäinen jäsen on 3 ja toinen 5. Kuinka monta jäsentä on laskettava yhteen, että summa ylittää 100 000?
Ratkaistaan suhdeluku q
Voimme muodostaa summan lausekkeella epäyhtälön
Ratkaistaan epäyhtälö GeoGebran CAS-toiminnolla.
Syötetään epäyhtälö GeoGebraan
Ratkaistaan sievennetty lauseke Ratkaise-komennolla
Otetaan likiarvo työkalurivin likiarvo-painikkeella
Saimme ratkaisuksi n > 19,59
Tarvitsemme siis 20 jäsentä, jotta summa ylittää 100 000.
Harjoituksia
1. Geometrisen jonon ensimmäinen jäsen on 4 ja suhdeluku 2. Laske
a) viiden
b) kymmenen
ensimmäisen jäsenen summa.
Vihje
Käytä summan lauseketta.
2. Geometrisen jonon ensimmäinen jäsen on 2 ja toinen 5. Laske kymmenen ensimmäisen jäsenen summa.
Vihje
Ratkaise ensin suhdeluku q.
3. Geometrisen jonon ensimmäinen jäsen on 5 ja toinen 10. Laske summa 5. jäsenestä 10. jäseneen.
Vihje
Kuinka monta yhteenlaskettavaa jäsentä on?
4. Geometrisen jonon viides jäsen on 32 ja seitsemäs jäsen 128. Laske 10 ensimmäisen jäsenen summa.
Vihje
Käytä yleisen jäsenen lauseketta suhdeluvun ratkaisemiseksi.
5. Kuinka monta jäsentä pitää laskea yhteen, että jonon summa ylittää 30000. Jonon ensimmäinen jäsen on 8 ja suhdeluku 4.
Vihje
Muodosta epäyhtälö summan lausekkeen avulla.
6. Liisa-Petteri aloitti kuntoilun. Hän juoksi ensimmäisen päivänä 2 kilometriä ja lisäsi matkaa 10% joka päivä. Kuinka paljon hän juoksee ensimmäisen 30 päivän aikana?
Vihje
Matkat muodostavat geometrisen jonon.
7. Lukujonossa (an) on a1 = 2 ja a2 = 12/5. Määritä jonon sadan ensimmäisen termin summa,
kun jono on
a) aritmeettinen
b) geometrinen. Anna tämän kohdan vastaus miljoonan tarkkuudella.
YO kevät 2013/11
Vihje
a) Ratkaise differenssi ja sadas jäsen.
b) Ratkaise suhdeluku q.
8. Geometrisen jonon suhdeluku on 4 ja kymmenen ensimmäisen termin summa 3 844 775. Määritä jonon ensimmäinen termi. Mikä on jonon kymmenes termi?
YO syksy 2003/7
Vihje
Ensimmäisen termin saat ratkaistua summan lausekkeen avulla.
9. Lukujonon ensimmäinen termi on 2, ja jonon kukin seuraava termi on aina 5 % suurempi kuin edellinen termi. Muodosta jonon n:nnen termin lauseke. Tutki tämän avulla, kuinka moni jonon termi on pienempi kuin 1000 miljoonaa. Laske näiden termien summa kolmen numeron tarkkuudella.
YO syksy 2008/10
Vihje
Muodosta lausekkeen avulla yhtälö ja ratkaise n.
10. Muodosta geometrisen jonon n:n ensimmäisen termin summa. Ratkaise summalauseketta käyttäen, mistä n:n arvosta alkaen summa ylittää miljoonan.
YO syksy 2004/6
Vihje
Muodosta epäyhtälö summan lausekkeella ja ratkaise n.
