Trigonometriset funktiot
Suorita MAA5-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.
Jo yksikköympyrän avulla huomattiin, että sini ja kosini saa arvot välillä [-1,1]. Mikäli sini ja kosini määritellään funktioiksi sin(x) ja cos(x), on näiden funktioiden arvojoukko [-1,1]
Funktion f(x)=sin(x) kuvaaja
Funktion f(x)=cos(x) kuvaaja
Sekä sinin, että kosinin jakso on 2𝜋, eli funktion arvot toistuvat 2𝜋 välein.
Kuvassa on f(x)=sin(x) kuvaaja. Punaisella on piirretty pääjakso, eli väli [0,2𝜋]. Tämän jälkeen arvot toistuvat välillä [2𝜋,4𝜋] ja jatkavat toistoa aina 2𝜋 välein. Kuvaajasta nähdään, että sini saa arvon 0 kohdassa 𝜋 ja 2𝜋. Sinin arvo on 1 kohdissa 𝜋/2 ja 3𝜋/2
Kuvaajan arvot vastaavat kehäpisteiden arvoja yksikköympyrässä.
Sini ja kosini saavat kaikki arvot välillä [-1,1]. Mikäli kerromme funktiota jollakin luvulla, muuttaa se funktion arvojoukkoa. Alapuolella kuuvaajia funktioista, joita on kerrottu jollain luvulla.
f(x)=2sin(x)
Mikäli sinillä on kertoimena 2, on funktion arvojoukko [-2,2]
f(x)=3cos(x)
Mikäli kosinilla on kertoimena 3, on funktion arvojoukko [-3,3]
f(x)=0,5sin(x)
Mikäli sinillä on kertoimena 0,5, on funktion arvojoukko [-0,5;0,5]
Mikäli kerroin on muuttujassa, vaikuttaa se funktion jaksoon.
f(x)=sin(2x)
Kertomalla muuttuja kaksinkertaiseksi, jakso puolittuu.
Nyt arvot toistuvat 𝜋 välein.
f(x)=sin(0,5x)
Kertomalla muuttuja puolikkaalla, jakso kaksinkertaistuu.
Nyt arvot toistuvat 4𝜋 välein.
Tangentin jakso on 𝜋. Tangentti määriteltiin sini jaettuna kosinilla, joten tangentti ei ole määritelty kosinin nollakohdissa. Tangentin kuvaaja onkin epäjatkuva ja lähestyttäessä kosinin nollakohtaa tangentin arvot kasvavat äärettömiksi. Tangentilla ei ole suurinta eikä pienintä arvoa. Tangentin arvojoukko on koko reaalilukujen joukko.
f(x)=tan(x) kuvaaja
Tangentin arvot toistuvat 𝜋 välein. Tämä on tangentin perusjakso.
f(x)=tan(x) ja g(x)=cos(x) kuvaajat
Tangentti ei ole määritelty kosinin nollakohdissa
Esimerkki 1
Määritä funktion arvojoukko ja perusjakso
Tiedetään, että sin(x) saa arvot välillä [-1,1] ja myös sin(2x) saa arvot samalla välillä. Tällöin
Funktion arvojoukko on siis [-2,2]
Sinin perusjakso on 2𝜋. Sinifunktio saa siis samat arvot 2𝜋 välein. Tällöin
Tästä huomataan, että
Funktion f(x) perusjakso on siis 𝜋.
Esimerkki 2
Määritä funktion arvojoukko ja perusjakso
Funktion cos(x) arvojoukko on [-1,1], kuten myös funktion cos(3x). Selvitetään arvojoukko
Funktion f(x) arvojoukko on [-1,5]
Kosinin perusjakso on 2𝜋, joten
Tällöin pätee
Funktion f(x) perusjakso on siis 2𝜋/3
Harjoituksia
1. Määritä funktioiden arvojoukot ja perusjaksot
Vihje
2. Määritä funktioiden arvojoukot ja perusjaksot
Vihje
sin(2x)=sin(2x+2𝜋)
3. Piirrä funktion f(x) = 2sin(x)-1 kuvaaja ja vastaa kysymyksiin
a) Mitkä ovat funktion nollakohdat?
b) Millä muuttujan x arvoilla funktio saa arvon -3?
c) Mikä on funktion pienin ja suurin arvo?
Vihje
GeoGebrassa saa muutettua x-akselin yksikön radiaaneiksi
4. Piirrä funktion f(x) = 3cos(x)+2 kuvaaja ja vastaa kysymyksiin
a) Mitkä ovat funktion nollakohdat?
b) Millä muuttujan x arvoilla funktio saa arvon 5?
c) Mikä on funktion pienin ja suurin arvo?
Vihje
Geogebra
5. Funktion f(x) = a sin(x) arvojoukko on [-3,3]. Määritä kerroin a
Vihje
6. Funktion f(x) = a sin(x) + d arvojoukko on [-1,3]. Määritä kertoimet a ja d.
Vihje
7. Funktion f(x) = a cos(x) + d arvojoukko on [-1/2,3/2]. Määritä kertoimet a ja d.
Vihje
8. Määritä vakio b funktiosta f(x) = cos(bx), kun funktion perusjakso on
a) 𝜋/2
b) 4𝜋
Vihje
cos(bx) = cos(bx+2𝜋)
9. Funktion f(x) = a sin(bx) + d arvojoukko on [-4,2] ja perusjakso on 2𝜋/5. Määritä kertoimet a, b ja d
Vihje
Määritä ensin a ja d arvojoukon avulla.
10. Funktion f(x) = a cos(bx) + d arvojoukko on [0,1/3] ja perusjakso on 𝜋/6. Määritä kertoimet a, b ja d
Vihje
Kerro sopivalla luvulla ja sitten vähennä. Tai toisinpäin.