Trigonometriset yhtälöt
Suorita MAA5-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.
Näissä trigonometrisissa yhtälöissä käytämme kulmana radiaania ja merkitsemme sitä muuttujalla x.
Esimerkki 1
Määritä kaikki kulmat, joille
Yksikköympyrässä tarkasteltuna sini on y-arvo, joten kahdella kulmalla sinin arvo on 0,5
Ensimmäinen kulma, jolla sini saa arvon 0,5 on 𝜋/6, joten
Sinin jakso on 2𝜋, eli täyden kierroksen välein sini saa saman arvon. Kaikki ratkaisut yhtälöön sin(x)=0,5 ovat
Edellisessä n on jokin kokonaisluku. Se voi olla positiivinen tai negatiiviinen, eli voimme kiertää ympyrää kumpaan suuntaan tahansa.
Esimerkki 2
Ratkaise yhtälö
Trigonometrisiä yhtälöitä käsitellään kuten muitakin yhtälöitä. Pyritään ensin saattamaan yhtälö muotoon sin(x)=a
Taulukosta saamme ensimmäisen kulman, jolla yhtälö ratkeaa. Se on x=𝜋/3 ja toinen kulma on x=𝜋-𝜋/3=2𝜋/3, joten yhtälön ratkaisut ovat
Esimerkki 3
Ratkaise yhtälö
Kulmat, joilla sini saa kyseiset arvot ovat 𝜋/4 + n2𝜋 ja 3𝜋/4 + n2𝜋. Tällöin saadaan
Kun molemmat yhtälöt jaetaan kahdella, saadaan ratkaistua x
Yhtälöä ratkaistaessa on hyvä huomioida, että jakso tulee jakaa myös. Aivan kuten missä tahansa yhtälössä, kaikki termit jaetaan.
Esimerkki 4
Ratkaise yhtälö
Muokataan yhtälö ensin muotoon cos(x)=a
Laskimella kulma, jolle kosini saa arvon 1/3 on 1,2309.... Yhtälön ratkaisut ovat
missä n on jokin kokonaisluku.
Esimerkki 5
Ratkaise yhtälöt
a-kohdassa kulmien tulee olla yhtäsuuret tai suplementtikulmat.
Näistä yhtälöistä voimme ratkaista kulman x. Viedään kaikki x:t yhtälöiden vasemmalle puolelle.
n on jokin kokonaisluku ja se pitää sisällään sekä negatiiviset, että positiiviset kokonaisluvut, joten voimme esittää ensimmäisen vastauksen ilman miinusmerkkiä.
b-kohdan yhtälö voidaan muokata muotoon
Tangentti ei ole määritelty kulmilla 𝜋/2+n𝜋, missä n on jokin kokonaisluku. Eli kulmilla, joissa kosini saa arvon 0. Tangentin jakso on 𝜋, joten yhtälön ratkaisu on
Esimerkki 6
Ratkaise yhtälö
Muokataan yhtälöä siten, että siellä on vain siniä tai kosinia. Trigonometrian peruskaavaan mukaan
Sijoitetaan tämä yhtälöön.
Saadaan toisen asteen yhtälö. Merkitään sin(x)=t
Takaisin sijoiteuksella saadaan sin(x)=1/2 tai sin(x)=2. Jälkimmäinen ei kelpaa, sillä sini saa arvot vain -1 ja 1 väliltä. Tällöin vain sin(x)=1/2 kelpaa, joten ratkaisut ovat
Harjoitukset
1. Ratkaise yhtälöt
Vihje
Millä kulmalla kyseinen funktio saa ilmoitetun arvon?
2. Ratkaise yhtälöt
Vihje
Muokkaa ensin muotoon, josta voit ratkaista kulman.
3. Ratkaise yhtälöt
Vihje
Ratkaise ensin sin x =a (tai cos x = a) ja sitten voit ratkaista kulman x. Muista jakso.
4. Ratkaise yhtälöt
Vihje
käytä b-kohdassa sopivaa muunnoskaavaa
5. Ratkaise yhtälöt
Vihje
b-kohdassa käytä sopivaa muunnoskaavaa. Muutoin tulon nollasääntö.
6. Ratkaise yhtälöt
Vihje
Toisen asteen yhtälö. Muista b-kohdassa trigonometrian peruskaava.
7. Ratkaise yhtälöt
Vihje
Kaksinkertaisenkulman kaava ja trigonometrian peruskaava.
8. Millä vakion a arvoilla yhtälöllä on ratkaisuja?
YO kevät 2006
Vihje
Muokkaa ensin yhtälö muotoon sin x = ...
Mitä arvoja sini saa?
9. Määritä sin(x − y), kun sin x = 1/4 , −π/2 ≤ x ≤ π/2, ja cos y = − 1/3 , π ≤ y ≤ 2π.
Tarkka arvo ja kaksidesimaalinen likiarvo.
YO syksy 2003
Vihje
Summakaava
10. Olkoon annettuna trigonometrian kaavat sin2 α + cos2 α = 1, sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos2 α−sin2 α ja tan α = sin α/ cos α. Osoita pelkästään näiden perusteella oikeiksi seuraavat kaavat:
Vihje
Muokkaa yhtälön oikea puoli vastaamaan vasenta puolta.
Ilmoita, mitä kaavaa olet missäkin laskun vaiheessa käyttänyt.
YO syksy 2004
11. Ratkaise yhtälöt
YO kevät 2012
Vihje
b-kohdassa käytä trigonometrian peruskaavaa.
12. Ratkaise yhtälö cos(2x ) + cos(3x ) = 0.
YO kevät 2013
Vihje
Miten ratkaistaan cos a = cos b?
13. Ratkaise seuraavat yhtälöt välillä [0, 2π]:
a) sin x = 1 c) sin z = (1 + cos z)(1 − cos z).
YO syksy 2018
Vihje
c-kohdassa avaa sulkeet