Raja-arvo

Suorita MAA6-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.

Aikaisemmin huomasimme, että rationaalifunktio ei ole määritelty nimittäjän nollakohdissa.

Funktio f ei ole määritelty, kun x = -2, sillä silloin nimittäjä on 0. Haluaisimme kuitenkin tietää, lähestyykö funktion arvot jotain tiettyä lukua kohdassa x = -2. Taulukoidaan funktion arvoja läheltä muuttujan arvoa -2

x > -2

Lähestytään arvoa -5

x < -2

Lähestytään arvoa -5

Molemmissa tapauksissa lähestytään arvoa -5, voimme siis olettaa, että kun x lähestyy arvoa -2, funktion arvo lähenee arvoa -5.

Raja-arvon määrittäminen

Edellisen kohdan funktion nimittäjä on 0, kun x = -2. Huomataan, että myös osoittaja on 0, kun x = -2. Tällöin f(-2) on muotoa 0/0, jota ei ole määritelty. Koska niillä on yhteinen nollakohta, voimme sieventää lauseketta. Osoittajan toinen nollakohta on 3.

Funktion kuvaaja on muuten samanlainen kuin suoran y = x - 3 kuvaaja, mutta kohdassa x = -2 funktiota ei ole määritelty, joten tässä pisteessä ei myöskään ole kuvaajaa.

Tämä on yksittäinen piste niin esimerkiksi GeoGebralla piirrettäessä aukkoa ei näy. Kuvaan on merkitty avoin piste erikseen.

Kun sijoitamme x=-2 sievennettyyn lausekkeeseen, saamme -5, joka on funktion f raja-arvo kohdassa -2. Tämä merkittäisiin seuraavasti.

Merkintä

Funktion f raja-arvo kohdassa a on b.

Esimerkki 1

Määritä raja-arvot

a)

b)

c)

Ratkaisu

a) Sijoitetaan luku 3 muuttujan paikalle

Raja-arvo on siis 2.

b) Sijoitetaan luku 5 muuttujan paikalle

Raja-arvo on siis 0.

c) Sijoitetaan luku 4 muuttujan paikalle

Nimittäjään tulee 0, joten lauseke ei ole määritelty tässä kohdassa. Osoittaja on -2 kohdassa 4, joten emme saa supistettua lauseketta. Raja-arvo ei ole olemassa.

Jokaisessa kohdassa raja-arvo saatiin määriteltyä sijoittamalla luku lausekkeeseen. Tämä tuleekin tehdä aina, kun aloitetaan määrittämään raja-arvoa.

Esimerkki 2

Määritä raja-arvo

Ratkaisu

Tehdään sijoitus

Sekä osoittaja että nimittäjä menevät nollaksi, eikä lauseke ole määritelty. Tämä kuitenkin kertoo meille, että raja-arvo on olemassa. Osoittajalla ja nimittäjällä on yhteinen nollakohta, joka saadaan supistettua pois. Osoittajan nollakohdat ovat x=2 ja x=1, nimittäjän nollakohdat ovat x=2 ja x=4

Raja-arvo on -1/2, kun x lähestyy lukua 2.

Murtolausekkeen kuvaaja

Funktion raja-arvo

Funktiolla f on raja-arvo b kohdassa a, jos funktion arvot lähestyvät lukua b, kun muuttujan arvot lähestyvät lukua a kummalta puolelta tahansa.

Tämä merkitään

Esimerkki 3

Määritä funktion f raja-arvo kohdassa 0

Sijoittamalla funktioon x = 0, tulee muodoksi 0/0, eli raja-arvo on olemassa. Muokataan ja supistetaan osoittajan ja nimittäjän yhteinen nollakohta pois.