Neliö ja kuutio
Toista potenssia kutsutaan neliöksi ja sen käänteislaskutoimitus on toinen juuri, eli neliöjuuri. Kolmatta potenssia kutsutaan kuutioksi ja sen käänteislaskutoimitus on kolmas juuri, eli kuutiojuuri.
Positiivisen reaaliluvun a neliöjuuri on positiivinen luku b, mikäli luku b korotettuna toiseen on luku a. Neliöjuuri voidaan siis laskea vain positiivisesta luvusta ja neliöjuuren tulos on aina positiivinen.
Neliöjuuri voidaan siis ottaa vain positiivisesta luvusta ja sen tulos on aina positiivinen. Koska ei ole mitään reaalilukua, joko korotettuna toiseen olisi negatiivinen.
Kuutiojuuri taas voidaan ottaa myös negatiivisesta luvusta. Esimerkiksi kuutiojuuri luvusta -8 on -2, sillä -2 korotettuna kolmanteen on -8. Kun negatiivinen luku korotetaan kolmanteen sinne jää aina yksi pariton miinus, joka tekee tuloksen negatiiviseksi.
Voidaan ajatella, että neliöjuuri antaa meille vastauksen kysymykseen mikä luku on korotettu toiseen. Kuutiojuuri vastaa taas kysymykseen mikä luku on korotettu kolmanteen.
Neliö- ja kuutioyhtälö
Neliöjuuri ja kuutiojuuri ovat vastaavien potenssien käänteislaskutoimituksia, joten voimme käyttää sitä hyväksi yhtälönratkaisussa.
Esimerkki 1
Ratkaistaan yhtälöt
Toinen potenssi kumoutuu neliöjuurella ja kolmas potenssi kuutiojuurella
Esimerkki 2
Ratkaise yhtälöt
Normaalit yhtälönratkaisu, eli muokataan yhtälöitä kunnes x on yksin toisella puolella
Esimerkki 3
Liisa-Petteri sijoitti saamansa perinnön internetistä löytämäänsä sijoituspalveluun. Palvelussa oli kaksi tasoa. Tasolla 1 sijoitus viisinkertaistuu kahdessa vuodessa ja tasolla 2 sijoitus kahdeksankertaistuu kolmessa vuodessa. Liisa-Petteri sijoittaa molempiin 5000 €. Kuinka moninkertaisiksi sijotukset kasvavat keskimäärin vuodessa kummallakin tasolla?
Ratkaisu
Merkitään vuosittaista kerrointa muuttujalla x.
Tasolla 1 alussa on 5000 € ja muutoksia tapahtuu kaksi kertaa, eli x·x = x² ja lopussa on 25000 €.
Tasolla 2 alussa on 5000 € ja muutoksia tapahtuu kolme kertaa, eli x · x · x = x³ ja lopussa on 40000 €.
Muodostetaan yhtälöt ja ratkaistaan ne
Ensimmäisessä yhtälössä tulee ratkaisuksi negatiivinen ja positiivinen, mutta vain positiivinen kelpaa sillä kyseessä on kasvukerroin.
Tasolla 1 vuodessa sijoitus kasvaa 2,2-kertaiseksi ja tasolla 2 sijoitus kasvaa kaksinkertaiseksi vuodessa.
Harjoituksia
1. Ratkaise yhtälö
Vihje
Muokkaa ensin yhtälö siten että x:n neliö on yksin yhtälön vasemmalla puolella.
2. Ratkaise yhtälö
Vihje
Kerro ensin nimittäjät pois
3. Ratkaise yhtälö
Vihje
Vie muuttujat vasemmalle ja vakiot oikealle.
4. Onko luku 2 alapuolisen yhtälön ratkaisu?
Vihje
Sijoita luku 2 x:n paikalle
5. Tiedetään, että alapuolisen yhtälön ratkaisu on x = 3. Mikä on kysymysmerkin paikalle kuuluva x:n potenssi?
Vihje
Muokkaa yhtälö muotoon, jossa x on yksin vasemmalla ja vakiot oikealla.