Määrittely- ja arvojoukko

Funktio eli kuvaus f : Mf → Af on sääntö, joka liittää yhden (ja vain yhden) määrittelyjoukon Mf alkion x arvojoukon Af alkioon y. Tätä yhteyttä merkitään f(x) = y.

Havainnekuva tilanteesta. Kuvassa on valittu neljän alkion osajoukku funktion f määrittelyjoukosta sekä arvojoukosta. Sääntö f liittää määrittelyjoukon arvot niitä vastaaviin arvojoukon arvoihin. Huomaa, että funktio voi saada saman arvojoukon arvon usealla määrittelyjoukon alkiolla.

Määrittelyjoukko Mf on se muuttujan arvojen joukko, millä funktio f on määritelty.

Arvojoukko Af on se arvojen joukko, mitä funktion f sääntö voi määrittelyjoukon arvoilla tuottaa.

Esimerkki 1

Määritä funktion f määrittely- ja arvojoukko. Kirjoita vastaus muotoon f : Mf → Af

Polynomifunktio f on määritelty kaikilla reaaliluvuilla, joten määrittelyjoukko

Koska toisen asteen termi on positiivinen, on funktio f kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli joka saa pienimmän arvonsa derivaatan nollakohdassa. Derivaattafunktion f'(x) = 2x nollakohta on x = 0 ja funktion pienin arvo

Koska funktio ei voi saada pienempiä arvoja kuin -2, on sen arvojoukko

Lopuksi kirjoitetaan vastaus muotoon

Havainnekuva funktiosta

Esimerkki 2

Määritä funktion f määrittely- ja arvojoukko. Kirjoita vastaus muotoon f : Mf → Af

Määrittelyjoukolla tarkoitetaan niitä x:n arvoja, joilla funktiolla on ratkaisu. Tehtävän funktio on määritelty kaikilla niillä muuttujan arvoilla, joilla neliöjuuren sisältö saa epänegatiivisia arvoja.

Neliöjuuren sisällön kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli ja se saa negatiivisia arvoja nollakohtien välissä.

Funktion f määrittelyjoukko on siis kaikki reaaliluvut ℝ, poislukien ne muuttujan x arvot, jotka ovat avoimella välillä ]-2,2[, eli

Neliöjuurilauseke ei voi saada negatiivisia arvoja, joten funktion arvojoukko

Lopuksi kirjoitetaan vastaus muotoon

Havainnekuva tilanteesta

Esimerkki 3

Määritä funktion f määrittely- ja arvojoukko. Kirjoita vastaus muotoon f : Mf → Af

Funktio f on määritelty kaikilla reaaliluvuilla koska sini ja kosini on määritelty kaikilla reaaliluvuilla.

Ratkaistaan seuraavaksi arvojoukko. Kyseessä on jaksollinen trigonometrinen funktio. Ratkaistaan funktion pienin ja suurin arvo derivaatan avulla.

Funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa derivaatan nollakohdissa

Ratkaistaan seuraavaksi funktion suurin ja pienin arvo. Valitaan jakson kertaluvut n = 0 ja n = 1.

Funktio saa arvoja väliltä

Kirjoitetaan lopuksi vastaus muotoon

Havainnekuva tilanteesta

Harjoituksia

1. Määritä funktion f määrittely- ja arvojoukot. Anna vastaus muodossa f : Mf → Af

2. Määritä funktion f määrittely- ja arvojoukot. Anna vastaus muodossa f : Mf → Af

3. Määritä funktion f määrittely- ja arvojoukot. Anna vastaus muodossa f : Mf → Af

4. Määritä funktion f määrittely- ja arvojoukot. Anna vastaus muodossa f : Mf → Af

5. Määritä funktion f määrittely- ja arvojoukot. Anna vastaus muodossa f : Mf → Af

6. Määritä funktion f määrittely- ja arvojoukot. Anna vastaus muodossa f : Mf → Af

7. Määritä funktion f määrittely- ja arvojoukot. Anna vastaus muodossa f : Mf → Af

8. Määritä funktion f määrittely- ja arvojoukot. Anna vastaus muodossa f : Mf → Af

9. Määritä funktion f määrittely- ja arvojoukot. Anna vastaus muodossa f : Mf → Af

10. Määritä funktion f määrittely- ja arvojoukot. Anna vastaus muodossa f : Mf → Af