Epäoleellinen integraali

Analyysin peruslause

Olkoon f suljetulla välillä [a,b] jatkuva funktio ja olkoon F jokin funktion integraalifunktio. Tällöin määrätty integraali

Analyysin peruslauseella lasketaan integraali suljetulla välillä [a,b]. Tässö moduulissa laajennetaan määrätyn integraalin käsite tapauksiin, joissa

- integroimisväli on rajoittamaton, eli esim. [a,∞[, ]-∞,a] tai ]-∞,∞[.

- funktio ei ole määritelty välin [a,b] toisessa tai molemmissa päätepisteissä.

- funktio ei ole määritelty yksittäisissä integroimisvälin pisteissä.

Edeltä mainituissa tapauksissa integraali ratkaistaan raja-arvon avulla. Ratkaisua kutsutaan funktion epäoleelliseksi integraaliksi.

Esimerkki 1

Ratkaise funktion

a) ja x-akselin rajaaman alueen pinta-ala väliltä [1,t[, kun t kasvaa rajatta.

b) ja x-akselin rajaaman alueen pinta-ala väliltä ]0,1].

Ratkaisu

a) Pinta-ala lasketaan integraalin avulla, kuten integraalilaskentakurssilla opittiin, mutta sijoitetaan integraalin äärettömän suuren ylärajan paikalle arvo t ja lasketaan integraali raja-arvona seuraavasti.

ja kun t → ∞ saadaan tulokseksi

Funktion f ja x-akselin rajaaman alueen pinta-ala väliltä [1,∞[ lähestyy raja-arvona arvoa 1. Jos integraalin ylärajan lähestyessä ääretöntä, saadaan integraalin vastaukseksi reaaliluku, sanotaan, että kyseinen integraali suppenee ja sille voidaan määrittää integraali raja-arvona.

Ratkaistaan kyseinen tehtävä myös geogebran avulla. Kirjoitetaan ensin geogebran algebranäkymän syöttökenttään funktion lauseke. Sitten geogebran CAS-näkymän syöttökenttään integraalikomento. Integraalikomentoon funktion paikalle funktion nimi f, x:n alkuarvoksi alaraja 1 ja x:n loppuarvoksi yläraja ∞.

Vastaukseksi saadaan, että funktion f ja x-akselin rajaaman alueen pinta-ala väliltä [1,∞[ lähestyy raja-arvona arvoa 1.

b) Pinta-ala lasketaan integraalin avulla, mutta koska funktiota ei ole määritelty kohdassa x = 0, sijoitetaan integroimisvälin alkuarvon tilalle t ja lasketaan integraali raja-arvon avulla.

ja kun t → 0 saadaan tulokseksi

Funktion f ja x-akselin rajaaman alueen pinta-ala väliltä ]0,1] lähestyy raja-arvona äärettömyyttä. Tällöin sanotaan, että integraali hajaantuu eikä sitä voi määritellä.

Tehtävä voidaan laskea geogebran avulla samoin kuin a) kohtakin. Tällä kerralla integraalin alaraja on 0 ja yläraja 1. Integraalin arvoksi tulee positiivinen äärettömyys.

Epäoleellisen integraalin suppeneminen

Jos integraalin ylärajan kasvaessa rajatta, saadaan epäoleellisen integraalin ratkaisuksi

ja s on jokin reaaliluku, niin sanotaan, että funktion f epäoleellinen integraali suppenee välillä [a,∞[.

Samoin toiseen suuntaan: Jos integraalin alarajan pienentyessä rajatta, saadaan epäolellisen integraalin ratkaisuksi

ja r on jokin reaaliluku, niin sanotaan, että funktion f epäoleellinen integraali suppenee välillä [-∞,b[.

Jos ratkaisu pienenee tai suurenee rajatta, eli tulos on joko positiivinen tai negativiinen äärettömyys, sanotaan, että epäoleellinen integraali hajaantuu eikä sitä voida määritellä.

Esimerkki 2

Määritä

Palautetaan mieleen aiemmalta kurssilta tuttu integroimiskaava

a) Integroitava funktio on määritelty koko välillä [1,∞[. Määritetään integraali raja-arvona

Vastaus: integraali suppenee ja sen arvo on 1/9

Havainnekuva a) kohdan tuloksesta

b) Integroitava funktio on määritelty välillä ]1,2], mutta ei välin alkupisteessä 1. Käytetään apuna edellisen laskun tulosta ja määritetään

Vastaus: Integraali hajaantuu.

Havainnekuva b) kohdan tuloksesta

Esimerkki 3

Määritä suppeneeko vai hajaantuuko seuraavat epäoleelliset integraalit.

a) Funktion f integraali välillä [3,∞[.

b) Funktion g määrätty integraali välillä ]0,1]

a) Funktio f on määritelty ja jatkuva kaikilla reaaliluvuilla, paitsi nimittäjän nollakohdissa.

Funktio f on siis koko tarkasteluvälillä [3,∞[ jatkuva funktio.

Määritetään epäoleellinen integraali

Palautetaan mieleen aiemmin opittu integroimissääntö.

Jatketaan epäoleellisen integraalin määritystä

Kun t kasvaa rajatta, myös |2t²-8| kasvaa rajatta. Tällöin myös ln|2t²-8| kasvaa rajatta, joten

Vastaus: Epäoleellinen integraali hajaantuu.

b) Funktio g on koko tarkasteluvälillä ]0,1] määritelty, mutta sitä ei ole määritelty välin alkupisteessa x = 0. Määritetään epäoleellinen integraali

Vastaus: Epäoleellinen integraali suppenee ja sen tulos on 2.

Sekä ylä- ja alarajalla epäoleelliset integraalit

Jos tarkasteluväli on avoin väli ]-∞,∞[ tai ]a,b[, määritetään epäoleellinen intregraali jakamalla se kahteen osaan.

1. Tarkasteluväli on ]-∞,∞[.

Oletetaan, että f on jatkuva kaikilla reaaliluvuilla ja olkoon c joku reaaliluku. Jos molemmat epäoleelliset integraalit

suppenevat, niin myös epäoleellinen integraali

suppenee, koska

2. Tarkasteluväli on ]a,b[.

Oletetaan, että funktio g on jatkuva tarkasteluvälillä ]a,b[ ja olkoon c jokin luku kyseiseltä väliltä. Jos molemmat epäoleelliset integraalit

suppenevat, niin myös epäoleellinen integraali

suppenee, koska

Kummassakaan tapauksista 1. ja 2. integraalin suppeneminen ja arvo ei riipu luvun c valinnasta.

Esimerkki 4

Määritä

Jaetaan epäoleellinen integraali kahteen osaan

Kun x ≤ 0, niin |2x³| = -2x³. Ratkaistaan epäoleellinen integraali, kun alarajaksi sijoitetaan s → -∞

Kun x ≥ 0, niin |2x³| = 2x³. Ratkaistaan epäoleellinen integraali, kun ylärajaksi sijoitetaan t → ∞

Molemmat epäoleellisen integraalit suppenevat, ja

Esimerkki 5

Määritä funktio f ja x-akselin raajaaman alueen pinta-ala välillä [0,3], kun

Funktio f ei ole määritelty tarkasteluvälin kohdassa x = π/2. Tehtävä voidaan kuitenkin ratkaista epäoleellisena integraalina jakamalla tarkasteluväli kahteen osaan.

1. Välillä [0,π/2[ f(x) > 0, eli |tanx| = tanx

2. Välillä ]π/2,3] f(x) < 0, eli |tanx| = -tanx

Pinta-ala

Tutkitaan ensin tarkasteluvälin ensimmäistä osuutta [0,π/2[

Koska toinen osa integraalista hajaantuu, myös

hajaantuu, eikä pinta-alaa voi määritellä.

Havainnekuva tilanteesta

Esimerkki 6

Määritä sen pyörähdykappaleen tilavuus, minkä funktio f muodostaa, kun se pyörähtää x-akseli ympäri välillä [1,∞].

Entuudestaan tiedämme, että x-akselin ympäri välillä [a,b] pyörähtävän funktion f muodostaman pyörähdyskappaleen tilavuus V saadaan selvillä kaavalla

Ratkaistaan pyörähdyskappaleen tilavuus epäoleellisena integraalina

Alla geogebralla piirretty kuva tilanteesta. Funkion f ja x-akselin rajaaman tilavuuden ulkopinta muistuttaa muodoltaan torvea.

Tehtävä on helppo ratkaista geogebran avulla. Kirjoita ensin funktion f lauseke algebranäkymän syöttökenttään ja sitten tilavuuden integroimiskaavaa mukaillen komennon π·integraali(f²,1,∞) CAS-näkymän syöttökenttään.

Vastaus: Pyörähdyskappaleen tilavuus on π/7

Harjoituksia

1. Määritä ilman laskentaohjelmien apua

Vihje

b) Voit käyttää a-kohdan integraalia apuna.

2. Ratkaise suppeneeko vai hajaantuuko seuraavat epäoleelliset integraalit. Tee tehtävä ilman laskentaohjelmien apua.

Vihje

3. Määritä ilman laskentaohjelmien apua.

Vihje

b) Tee kohdan a) avulla.

c) Sekä ylä- ja alarajalla epäoleellinen integraali voidaan jakaa kahteen osaan. Käytä apuna a) ja b) kohdan tuloksia.

4. Määritä ilman laskentaohjelmien apua.

Vihje

5. Määritä ilman laskentaohjelmien apua.

Vihje

Jaa integraali kahteen osaan

Itseisarvojen poistaminen: kun a < 0, |a| = -a ja kun a > 0, |a|=a.

6. Määritä funktion f integraali välillä ]-∞,2[. Tee tehtävä ilman laskentaohjelmien apua.

Vihje

Jaa integraali kahteen osaan.

7. Määritä funktioiden f ja g sekä suoran y = 0 rajaaman alueen pyörähdyskappaleen tilavuus välillä [1,∞[. Anna vastaus kahden desimaalin tarkkuudella. Käytä apuna laskentaohjelmia.

Vihje

- Ratkaise funktioiden leikkauspisteet mitkä kuuluvat tarkasteluvälille.

- Jaa pyörähdyskappalee tilavuusintegraali leikkauspisteiden mukaisesti osiin.