2. asteen yhtälö

Toisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, jossa on yhdessä termissä muuttujan toinen potenssi. Kaikki toisen asteen yhtälöt ovat muotoa

missä a on toisen asteen termin kerroin, b on ensimmäisen asteen termin kerroin ja c on vakiotermi.

Esimerkki 1

Tarkastellaan ensin vaillinnaista toisen asteen yhtälöä, josta puuttuu ensimmäisen asteen termi, eli b=0.

Tulon nollasääntö

Kertolaskun tulo on nolla jos ja vain jos yksi tai useampi tulon tekijöistä on nolla

Esimerkki 2

Toinen vaillinnainen toisen asteen yhtälö on sellainen, josta puuttuu vakiotermi, eli c=0.

Otetaan ensin yhteinen tekijä x kertoimeksi eteen. Nyt voimme käyttää tulon nollasääntöä.

Yhtälön ratkaisut ovat x = 0 tai x = 2.

Ratkaisukaava

Täydellisessä toisen asteen yhtälössä tarvitsemme ratkaisukaavaa. Eli kaikki kertoimet a, b ja c on erisuuria kuin 0.

Esimerkki 3

Ratkaistaan toisen asteen yhtälö käyttäen kaavaa

Kerätään kertoimet ja muistetaan, että etumerkki kuuluu mukaan lukuun

a=1, b=-2 ja c=-8

sijoitetaan kaavaan

Ratkaisut ovat siis x = –2 tai x = 4

Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja

Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on paraabeli. Toisen asteen termin kerroin a määrää aukeaako paraabeli ylös- vai alaspäin. Kun a > 0 paraabeli aukeaa ylöspäin. Kun a < 0 paraabeli aukeaa alaspäin. Mikäli a = 0, kyseessä ei ole toisen asteen polynomifunktio, koska toisen asteen termiä ei olisi.

Alapuolella on funktion f kuvaaja. Kuvaaja leikkaa x-akselin kohdissa x = –1 ja x = 5. Nämä ovat funktion nollakohdat, jotka ratkaisimme laskemalla esimerkissä 4.

KOKEILE

Voit muuttaa liukusäätimillä kertoimien a, b ja c arvoja. Näiden alapuolella näet toisen asteen funktion ja koordinaatistossa tämän kuvaajan.

Harjoituksia

1. Ratkaise yhtälö

Vihje

Ratkaisukaava

2. Tutki onko yhtälöillä samoja ratkaisuja.

YO syksy 2000/1

Vihje

Ratkaise molemmat yhtälöt

3. Ratkaise yhtälö

YO kevät 2004/1a

Vihje

Avaa sulkeet ja vie kaikki termit yhtälön vasemmalle puolelle.

4. Laske paraabelien leikkauspisteet.

YO syksy 2002/2

Vihje

Merkitse paraabelit yhtäsuuriksi ja ratkaise näin saatu toisen asteen yhtälö. Miten saat selville y-koordinaatit?

5. Ratkaise yhtälö

YO kevät 1997/1

Vihje

Kerro sulkeet auki ja vie kaikki termit yhtälön vasemmalle puolelle.

6. Etsi suurempi niistä kahdesta luvusta, joiden summa ja erotus ovat seuraavan ekvatsionin (yhtälön) juurina

YO kevät 1897

Vihje

Merkitse lukuja a ja b, saat yhtälöparin näiden summasta ja erotuksesta.

7. Määritä toisen asteen yhtälön kertoimet p ja q, kun yhtälön juuret ovat x₁ ja x₂


Vihje

Sijoita juuret yhtälöön, jolloin saat yhtälöparin muuttujina p ja q.

8. Etsi viisi sellaista peräkkäistä kokonaislukua, että kolmen ensimmäisen luvun neliöiden summa on sama kuin kahden viimeisen luvun neliöiden summa. Kuinka monta tällaista lukuviisikkoa on olemassa?

Syksy 1996 Lyhyt

Vihje

Merkitse ensimmäistä lukua x. Mikä on seuraava eli yksi suurempi?

Osion perustehtävät