Jatkuva todennäköisyysjakauma
Moduulissa MAA8 opittiin käsitteet satunnaismuuttuja ja satunnaismuuttujan jakauma (MAA8) tapauksissa, joissa satunnaismuuttuja on diskreetti eli se voi saada vain tiettyjä arvoja. diskreetin satunnaismuuttujan arvojoukko on siis äärellinen. Tässä kappaleessa tutustutaan satunnaismuuttujiin, jotka eivät ole diskreettejä vaan jatkuvia. Eli ne voivat saada mitä tahansa reaaliarvoja esimerkiksi jollain välillä [a,b]. Jatkuvia satunnaismuutjia voi olla esimerkiksi paino, pituus, pinta-ala jne. Jatkuvan satunnaismuuttujan arvojoukko voi olla reaalilukujen väli [a,b] tai koko reaalilukujen joukko ℝ.
Jatkuva muuttuja on esimerkiksi ikä tai aika tai vaikka asunnon pinta-ala. Tällaiset muuttujat saavat äärettömän monta arvoa, eikä kaikkia mahdollisia arvoja voida luetella. Mitä tarkemmin asiaa mittaa sitä tarkempia arvoja muuttuja saa. Pystytkö luettelemaan kaikki mahdolliset reaaliluvut lukujen 0 ja 1 välissä? Valitset mitkä tahansa kaksi vierekkäistä lukua, näiden välistä löytyy aina lukuja.
Diskreetin satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktio.
Kolikkoa heitetään 20 kertaa. Yllä olevassa kuvassa on satunnaismuuttujan X = ' Klaavojen lukumäärä' pistetodennäköisyydet. Diskreetin satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktio kuvaa satunnaismuuttujan eri arvoja vastaavia todennäköisyyksiä. Kuvaaja voitaisiin esittää myös seuraavasti
Todennäköisyys, että klaavojen lukumäärä on vähintään 8 mutta korkeintaan 12 eli P(8 ≤ X ≤ 12) saadaan laskemalla yhteen satunnaismuuttujan arvoja 8,9,10,11 ja 12 vastaavat todennäköisyydet.
Jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktio
Jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyyksiä kuvaavaa funktiota kutsutaan satunnaismuuttujan tiheysfunktioksi. Jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktion määrittelyjoukkona on satunnaismuuttujan arvot. Koska jatkuvan satunnaismuuttujan arvoina on esimerkiksi reaalilukujen väli [0,10], niin tiheysfunktion kuvaaja on yhteinen jatkuva käyrä. Todennäköisyys, että satunnaismuuttuja on esimerkiksi välillä [3,5] saadaan käyrän alle jäävänä pinta-alana.
Tiheysfunktio
Jatkuvaa satunnaismuuttujaa ei voi esittää taulukolla, joten se yleensä esitetään käyttäen tiheysfunktiota.
Funktion ja x-akselin rajaaman alueen pinta-ala välillä [a,b] on yhtä suuri kuin todennäköisyys tällä välillä.
Kokonaistodennäköisyys on aina 1, joten tiheysfunktion ja x-akselin rajaamaan alueen pinta-ala on aina 1.
Määritelmä
Satunnaisfunktion tiheysfunktio
Funktio f on satunnaismuuttujan X tiheysfunktio, jos
Ehto 1) tarkoittaa, että todennäköisyys ei voi olla negatiivinen
Ehto 2) tarkoittaa, että koko tiheysfunktion alle jäävä pinta-ala on 1. Siis varman tapahtuman todennäköisyys on 1.
Ehto 3) tarkoittaa seuraavaa. Todennäköisyys, että X on välillä [a,b] saadaan käyrän alle jäävänä pinta-alana välillä [a,b] eli funktion f määrättynä integraalina a:sta b:hen.
Todennäköisyys, että satunnaismuuttuja X saa jonkin tietyn arvon on nolla. Eli P(X = a) = 0 kaikilla reaaliluvuilla a. Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa tarkastellaan todennäköisyyksiä, että X kuuluu jollekin välille. Esimerkiksi P(a ≤ X ≤ b) tai P(X ≤ b) tai P(X ≥ a).
Huomaa myös, että määrätyn integraalin suuruus ei riipu siitä, onko integroimisväli avoin vai suljettu. Esimerkiksi P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b).
Yksinkertaisin esimerkki jatkuvasta satunnaismuuttujasta on tasaisesti jakautunut satunnaismuuttuja. Sen tiheysfunktio on vakio jollain välillä [a,b] ja välin ulkopuolella sen arvo on nolla. Tätä merkitään X∼Tas(a,b).
Esimerkki 1
Liisa kulkee metrolla töihin. Metro lähtee pysäkiltä 5 minuutin välein. Liisa saapuu pysäkille aikataulua katsomatta. Olkoon satunnaismuuttuja X = 'Aika, jonka Liisa joutuu odottamaan metron lähtemistä.' Muodosta X:n tiheysfunktio ja Laske todennäköisyydet P(X ≤ 3) ja P(1 < X < 4).
Kaikki odotusajat välillä [0,5] ovat yhtä todennäköisiä. Kyseessä on siis tasainen jakauma. X∼Tas(0,5). Tiheysfunktion ja x-akselin väliin jäävä pinta-ala tulee olla yksi, joten tiheysfunktion vakioarvolle a saadaan ehto
Todennäköisyys P(X ≤ 3) saadaan käyrän alapuolelle jäävänä pinta-alana kohdasta 3 vasemmalle.
Todennäköisyys P(1 < X < 4) saadaan käyrän alapuolelle jäävänä pinta-alana välillä [1,4]
Esimerkki 2
Määritä vakio a siten, että f(x) on tiheysfunktio. Laske todennäköisyys P(X > 3) kun satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on f(x).
Ratkaisu
Jotta, f(x) olisi tiheysfunktio täytyy käyrän ja x-akselin väliin jäävän pinta-alan olla 1. Siis
Integraalin laskemisessa voidaan rajoittua alueeseen, jossa f(x) on nollasta eroava.
Joten a = 1. Tiheysfunktio f(x) on
Lasketaan kysytty todennäköisyys
Vastaus
Diskreettien satunnaismuuttujien yhteydessä tutustuttiin diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvoon ja keskihajontaan. (MAA8)
Määritelmä
Jatkuvan satunnaismuuttujan odotusarvo ja keskihajonta
Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja ja f sen tiheysfunktio. Satunnaismuuttujan X odotusarvo on
Odotusarvoa voidaan merkitä myös kreikkalaisella kirjaimella µ (myy)
Satunnaismuuttujan X keskihajonta on
Keskihajontaa voidaan merkitä myös kreikkalaisella kirjaimella σ (sigma)
Esimerkki 3
Oletetaan, että X on tasaisesti jakautunut välillä [10,20]. Määritä X:n odotusarvo ja keskihajonta.
Ratkaisu
Määritetään X:n tiheysfunktio f. Koska f saa vakioarvon a välillä [10,20] ja arvon 0 muulloin. Saadaan vakion a arvoksi
Joten
Vastaus
odotusarvo
keskihajonta
Yleisesti tasaisella jakaumalle pätee seuraava tulos. Olkoon X∼Tas(a,b), tällöin
Todistus jätetään harjoitustehtäväksi.
Kertymäfunktio
Jatkuvan satunnaismuuttujan jakauma voidaan esittää myös kertymäfunktion avulla
Määritelmä
Okoon X jatkuva satunnaismuuttuja ja f sen tiheysfunktio. Satunnaismuuttujan X kertymäfunktio F on
Kertymäfunktio kohdassa t ilmaisee siis "kuinka paljon todennäköisyyttä on kertynyt kohtaan t saakka." Huomaa myös, että kertymä funktiota laskettaessa integroimalla on käytettävä toista muuttujakirjainta esimerkiksi "t"
Kertymäfunktion arvot ovat siis todennäköisyyksiä, jotka ovat muotoa P(X ≤ t). Muita todennäköisyyksiä voidaan laskea näiden avulla seuraavasti.
Vastaavasti kertymäfunktion avulla ilmaistuna
Usein halutaan laskea todennäköisyys, joka on muotoa P(a < X < b). Tämä lasketaan kertymäfunktion avulla seuraavasti
Jos tunnetaan satunnaismuuttujan kertymäfunktio, niin tiheysfunktio saadaan kertymäfunktiosta derivoimalla.
Derivointi joudutaan mahdollisesti tekemään paloittain. Kertymäfunktio on derivoituva lukuunottamatta yksittäisiä kohtia.
Esimerkki 4
Olkoon f(x) satunnaismuuttujan X tiheysfunktio.
a) Määritä X:n odotusarvo
b) Määritä X:n kertymäfunktio
c) Laske P(2 < X < 3)
Ratkaisu
c) Lasketaan kysytty todennäköisyys kertymäfunktion avulla.
Vastaus
Esimerkki 5
Olkoon X tasaisesti jakautunut välillä [a,b]. Määritä satunnaismuuttujan X kertymäfunktio.
Ratkaisu
Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on
Kertymäfunktio saadaan tiheysfunktion integraalifunktiona. Määritetään integraalifunktio paloittain
Olkoon t > a
Olkoon a < t < b
Kun muuttujan t paikalle nimetään x, saadaan siis
Olkoon t > b
Tämä seuraa, siitä että kyseessä on satunnaismuuttuja, joten keskimmäinen integraali on 1. Välin [a,b] ulkopuolella tiheysfunktio on nollafunktio.
Vastaus
Esimerkki 6
Erään satunnaismuuttujan x tiheysfunktio on
a) Piirrä tiheysfunktion kuvaaja.
b) Laske todennäköisyydet P(x ≤ 1), P(1 < x ≤ 3) ja P(x > 3)
(YO2003S Pitkä matematiikka)
Ratkaisu
a) Piirretään kuvaaja geogebralla.
b) Määritetään todennäköisyydet P(x ≤ 1), P(1 < x ≤ 3) ja P(x > 3)
Kuvaaja on verrattain helppo, joten ei ole tarpeen integroida. Määritetään pinta-alat kolmioiden avulla.
Harjoituksia
Määritä vakio a siten, että f(x) on tiheysfunktio
Olkoon f(x) satunnaismuuttujan X tiheysfunktio. Laske P(X < 1)
2. Kuvassa on erään satunnaismuuttujan X tiheysfunktio. Määritä kuvan perusteella
a) P(X < 2)
b) P(X > 2)
c) P(2 < X < 3)
d) P(0 ≤ X ≤ 4)
e) P(X > 0)
Tässä tehtävässä riittää pelkkä vastaus.
Vastaus
a) P(X < 2) = 0,3
b) P(X > 2) = 0,7
c) P(2 < X < 3) = 0,2
d) P(0 ≤ X ≤ 4) = 0,7
e) P(X > 0) = 1
3. Määritä vakio a siten, että f(x) on satunnaismuuttujan X tiheysfunktio. Laske P(X > 4)
4. Laske edellisen tehtävän satunnaismuuttujan odotusarvo ja keskihajonta.
5. Erään tehtaan valmistamien hehkulamppujen kestoajan jakaumalla on tiheysfunktio f(t)
(muuttuja t ilmaisee ajan tuhansina tunteina). Millä todennäköisyydellä tällainen lamppu palaa vähintään 1300 tuntia?
YO kevät 1984/8a
5. Funktio F : ℝ → ℝ on määritelty seuraavasti
Määritä 1° sellainen vakio a, että F(x) on jatkuvasti jakautuneen satunnaismuuttujan X kertymäfunktio. 2° X:n odotusarvo E(X). 3° todennäköisyys P(X ≥ 2).
6. Määritä sellainen kerroin a, että funktio
on erään satunnaismuuttujan X tiheysfunktio. Mikä on tällöin kertymäfunktion lauseke? Laske P(X ≥ t), kun t ≥ 0.
7. Halkaisijaltaan 20 cm olevaan pyöreään maalitauluun heitetään umpimähkään tikkaa. Olkoon satunnaismuuttuja X tauluun osuneen tikan etäisyys reunasta. Määritä X:n kertymäfunktio, tiheysfunktio, odotusarvo ja keskihajonta.
YO kevät 1997/9a
8. Kangas on neliön muotoinen. Neliön sivun pituus on yksi metri. Satunnaiseen kohtaan kangasta laskeutuu leppäkerttu. Olkoon satunnaismuuttuja X leppäkertun etäisyys kankaan reunasta metreinä.
a) Määritä satunnaismuuttujan X kertymäfunktio. Piirrä kertymäfunktion kuvaaja.
b) Määritä satunnaismuuttujan X tiheysfunktio. Piirrä tiheysfunktion kuvaaja.
c) Laske todennäköisyys P(X > 0,1)
d) Laske odotusarvo E(X)
9. Olkoon X satunnaisesti väliltä [0,2] valitun luvun neliö.
a) Laske P(X ≤ 1)
b) Laske odotusarvo E(X)
10. Sijoittaja käytti osakkeen kurssikehityksen arvioimiseen todennäköisyysjakaumaa, jonka tiheysfunktion maksimi saavutetaan markkina arvolla 20,50 € ja joka on nolla yli viiden euron poikkeamilla markkina-arvosta 20,50 €. Tiheysfunkito on jatkuva, ja sen kuvaaja koostuu kahdesta lineaarisesta osasta välillä 15,50 € - 25,50 €.
a) Määritä tiheysfunktion lauseke.
b) Millä todennäköisyydellä osakkeen markkina-arvo on alle 19 €?
c) Muiden kurssien nousu sai sijoittajan muuttamaan jakaumaa epäsymmetriseksi niin, että maksimi saavutettiin edelleen arvolla 20,50 €, mutta nollakohta 25,50 € siirtyi pisteeseen 30,50 €. Muilta ominaisuuksiltaan jakauma pysyi samantyyppisenä kuin aikaisemmin. Määritä tämän uuden jakauman odotusarvo.
YO syksy 2012/14
11. Olkoot a > 0 ja
Osoita, että funktio f(t) toteuttaa ehdon
jokaisella parametrin a arvolla. Tästä seuraa, että f(t) on erään jatkuvan todennälöisyysjakauman tiheysfunktio. Jakaumaa kutsutan eksponenttijakaumaksi. Huom: pelkkä laskin ei riitä perusteluksi.
b) eksponenttijakaumalla voidaan kuvata mm. peräkkäisten neutriinohavaintojen välistä aikaa. Eräällä havaintolaitteella peräkkäisten havaintojen väliajan mediaani oli 46,90 minuuttia, eli puolessa tilastoiduista tapauksista väliaika oli tätä pienempi ja puolessa suurempi. Millä parametrin a arvolla tiheysfunktio f(t) kuvaa näitä mittaustuloksia?
YO syksy 2017/9