Eksponenttifunktio
Eksponenttifunktio on muotoa
missä muutoskerroin a on positiivinen ja erisuuri kuin 1 ja p on jokin kerroin. Jos a=1, olisi kyseessä vakiofunktio p.
Eksponenttifunktiossa muuttuja on siis eksponentissa.
Esimerkki 1
Liisa-Petterin tietokonevirus lähti leviämään internetin välityksellä. Funktio
f(x) = 2 · 3x
kertoo kuinka moni tietokone on saanut viruksen, kun lähettämisestä on kulunut x tuntia.
a) Kuinka moninkertaiseksi saastuneiden tietokoneiden määrä kasvaa tunnissa?
b) Kuinka monta konetta on saastunut 5 tunnin jälkeen?
c) Piirrä funktion kuvaaja ja tutki kuinka kauan kestää tunnin tarkkuudella, että 10 000 konetta on saastunut viruksesta.
Ratkaisu
a) Funktiosta f(x) nähdään, että kantalukuna on 3, joten joka tunti saastuneiden koneiden määrä tulee kolminkertaiseksi.
b) Lasketaan f(5)
c) Piirretään funktion kuvaaja GeoGebralla. Funktion arvot ovat y-akselilla, joten piirretään myös suora y = 10 000. Funktio ja suoran leikkauspiste on kohdassa x = 7,75, joten tunnin tarkkuudella 10 000 konetta on saastunut noin 8 tunnin kuluttua.
Esimerkki 2
Liisa-Petteri haluaa puhdistaa uima-altaansa ennen viikonloppuna koittavia grillijuhliaan. Hän käyttää uima-altaan puhdistusainetta 250 g. Puhdistusainetta hajoaa 30% vuorokaudessa. Jotta allasta voi käyttää turvallisesti, saa puhdistusainetta olla jäljellä 125 g. Minä päivänä hänen tulisi viimeistään pistää puhdistusaine altaaseen, jotta se olisi viikonloppuna uintikelpoinen?
Ratkaisu
Puhdistusainetta hajoaa 30%, joten vuorokauden jälkeen sitä on jäljellä 70%. Tästä saamme muutoskertoimen 0,7. Ainetta on alussa 250 g, joten sen hajoamista kuvaa funktio
Piirretään funktion kuvaaja ja määritetään millä x:n arvolla jäljellä on enää 125 g.
Pesuainetta on jäljellä 125 grammaa 1,94 vuorokauden kuluttua. Liisa-Petterin tulisi pistää pesuaine altaaseen viimeistään keskiviikkona.
Eksponenttiyhtälön ratkaiseminen
Kun tuntematon on eksponentissa, on yhtälön ratkaisu hieman vaikeampaa. Yhtälön ratkaiseminen on kuitenkin kohtalaisen helppoa, jos saamme muokattua yhtälön molemmin puolin saman kantaluvun.
Esimerkki 3
Kun saamme molemminpuolin muokattua potenssin, jossa on kantalukuna 2, yhtälö toteutuu, kun eksponentit ovat yhtä suuret. Tässä tapauksessa x = 4
Esimerkki 4
Välillä voimme joutua muokkaamaan molemmat puolet yhtälöstä. Myös tässä tapauksessa saimme kantaluvuksi 2.
Yhtälö toteutuu, kun eksponentit ovat yhtä suuret. Tässä tapauksessa 2x = 6, josta voimme ratkaista x = 3
Esimerkki 5
Joissakin tapauksissa yhtälöä pitää sieventää ennen kuin saamme sen muotoon, jossa voimme esittää molemmat puolet saman kantaluvun potensseina.
Tässä pitää jakaa ensin kerroin 4 pois, minkä jälkeen voimme esittää molemmat puolet luvun 3 potensseina.
Yhtälö toteutuu, kun eksponentit ovat yhtä suuret. Tässä tapauksessa 3x = 4, josta voimme ratkaista muuttujan x.
Ratkaisu laskimella
Entäpä sitten, jos asiat ei olekaan niin kivasta, että saisimme muokattua molemmat puolet saman kantaluvun potensseiksi?
Esimerkki 6
Pitäisi ratkaista yhtälö
Voidaan toki aloittaa ratkaisua jakamalla kerroin pois
Mutta nyt emme saa esitettyä lukua 9 luvun 2 potenssina.
Joten turvaudumme laskimeen
Ja saamme ratkaisulle likiarvon, joka on x ≈ 3,17
Olisimme toki voinut ratkaista laskimella yhtälön jo alkujaan laskimella
Laskimena on käytetty GeoGebraa.
SYVENTÄVÄÄ TIETOA
Yhtälönratkaisussa voi käyttää apuna logaritmia. Logaritmifunktio on eksponenttifunktion käänteisfunktio.
Otetaan 10-kantainen logaritmi avuksi yhtälönratkaisun työkaluihin.
Harjoituksia
1. Laske
a) f(4)
b) f(0)
c) f(-3)
kun funktio on
Vihje
Sijoita luku x:n paikalle.
2. Piirrä funktion f kuvaaja ja määritä
a) f(10)
b) f(x)=10
c) f(x)=10 000
Vihje
b kohdassa piirrä suora y=10 ja hae leikkauspiste funktiolle f ja suoralle.
3. Piirrä funktiot f ja g GeoGebralla ja määritä milloin funktioiden arvot ovat yhtäsuuret.
Vihje
Leikkauspiste(f,g)
4. Millä muuttujan x arvolla funktion f arvot ovat suurempia kuin 10 000?
Vihje
Piirrä suora y=10000
5. Millä muuttujan x arvoilla funktion f arvot ovat pienempiä kuin 0,00001?
Vihje
Piirrä suora y=0,00001
6. Ratkaise yhtälöt
Vihje
Muokkaa samat kantaluvut
7. Ratkaise yhtälöt
Vihje
Muokkaa samat kantaluvut
8. Ratkaise yhtälöt
Vihje
Muokkaa molemmille puolille samat kantaluvut
9. Ratkaise yhtälöt
Vihje
Sievennä ensin yhtälön vasen puoli. Osoittajaan ja nimittäjään samat kantaluvut. Tämän jälkeen potenssin laskusäännöt.
10. Ratkaise yhtälöt laskimella kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.
Vihje
Käytä c-kohdassa GeoGebran CAS-toimintoa.
Vanhoja YO-tehtäviä
Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen.
1. Ratkaise yhtälö
Kevät 2013 (3b)
x = 1/2
2. Mikä luku x toteuttaa annetun yhtälön?
Syksy 2014
a) 1
b) -1
c) 4
d) -5
e) 3
f) -2
3. Ratkaise yhtälö
Syksy 2012 (3b)
x = 4/3
4. Ratkaise yhtälö.
Kevät 2012 (3b)
x = 3
