Suorita lukio-opintoja kesällä etänä Eirassa!

Itseisarvoyhtälö

Suorita MAA4-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.

Mikä luku sopii x:n paikalle, kun |x| = 4?

Itseisarvon määritelmän mukaan x on luku, jonka etäisyys nollasta on 4. Tällöin x = 4 tai x = -4. Itseisarvoyhtälöstä saadaan yleensä kaksi ratkaisupolkua.

Esimerkki 1

Ratkaise x

|2x| = 4

Määritelmän mukaan

2x = 4 tai 2x = -4, josta saadaan, että x = 2 tai x = -2.

Esimerkki 2

Ratkaise x

|3x – 6| = 9

Määritelmän mukaan

3x – 6 = 9 tai 3x – 6 = -9, josta saadaan x = 5 tai x = -1

Esimerkki 3

Ratkaise x

|4x – 7| = -5

Itseisarvo on aina suurempi tai yhtäsuuri kuin 0, joten edellisellä yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

Kokeile

Saat näkyviin itseisarvoyhtälön ratkaisun analyyttisesti sekä lukusuoralla.

Esimerkki 4

Ratkaise yhtälö

Muodostetaan kaksi yhtälöä määritelmän mukaan

Saadaan kaksi toisen asteen yhtälöä. Ensimmäisen ratkaisut ovat x = -2 tai x = 3 ja jälkimmäisen ratkaisut ovat x = -1 tai x = 2, eli alkuperäisen itseisarvoyhtälön ratkaisut ovat x = -2, x = -1, x = 2 tai x = 3

Yhtälö, jossa kahden funktion itseisarvot ovat yhtä suuret, toteutuu, kun funktioden arvot ovat yhtäsuuret tai vastaluvut.

Esimerkki 5

Ratkaise yhtälö

|2x – 4|=|x – 5|

Puretaan määritelmän mukaan kahdeksi yhtälöksi

2x – 4 = x – 5 tai 2x – 4 = -(x – 5)

Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan x = -1 ja toisesta x = 3

Itseisarvon poistaminen korottamalla toiseen

Esimerkki 6

Ratkaise yhtälö

|2x + 3| = |x – 2|

Molemmat puolet yhtälöstä ovat positiivisia, joten voimme korottaa yhtälön puolittain toiseen.

Korottamalla yhtälö puolittain toiseen, päädymme toisen asteen yhtälöön, jonka ratkaisut esimerkiksi GeoGebralla on x = -5 tai x = -1/3

Esimerkki 7

Ratkaise yhtälö

|x + 3| – 2 = x – 5

Viedään aluksi -2 yhtälön oikealle puolelle.

|x + 3| = x – 3

Itseisarvo on aina positiivinen, joten on oltava

x – 3 > 0

x > 3

Korotetaan puolittain toiseen

Ratkaisu ei toteuta määrittelyehtoa, joten yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

Harjoituksia

1. Millä muuttujan x arvolla polynomin 2x + 3 itseisarvo on 4?

Vihje

Muodosta itseisarvoyhtälö ja ratkaise se.

2. Millä muuttujan x arvolla polynomin x – 5 itseisarvo on yhtäsuuri kuin polynomin x + 3?

Vihje

Muodosta itseisarvoyhtälö ja ratkaise se.

3. Millä muuttujan x arvolla polynomin 3x – 5 itseisarvo on yhtäsuuri kuin polynomin 5x – 3?

Vihje

Muodosta itseisarvoyhtälö ja ratkaise se.

4. Ratkaise yhtälö

Vihje

Siirrä 3 yhtälön oikealle puolelle.

5. Ratkaise yhtälö

Vihje

Siirrä 2 yhtälön oikealle puolelle.

6. Ratkaise yhtälö

Vihje

Sievennä niin, että vasemmalla puolella on vain |x|

7. Ratkaise yhtälö

Vihje

Siirrä 2 yhtälön oikealle puolelle ja käytä määritelmää.

8. Määritä vakio a siten, että yhtälöllä on yksi ratkaisu

Vihje

Toisen asteen yhtälön ratkaisujen lukumäärä.

9. Ratkaise yhtälö

Vihje

Käytä määritelmää

10. Ratkaise yhtälö

Vihje

Käytä määritelmää

Vanhoja YO-tehtäviä

Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen

1. Ratkaise yhtälö

Kevät 2011 (1c kohta)

x=0 tai x=8

2. Ratkaise yhtälö

Kevät 2008 (2c kohta)

x=-1 tai x=7/3

3. Ratkaise yhtälö

Kevät 1977 (Lyhyt)

x=1/2

4. Ratkaise yhtälö

Syksy 1982

x=6/5

Osion perustehtävät

Google Sites

Report abuse