Itseisarvoyhtälö
Suorita MAA4-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.
Mikä luku sopii x:n paikalle, kun |x| = 4?
Itseisarvon määritelmän mukaan x on luku, jonka etäisyys nollasta on 4. Tällöin x = 4 tai x = -4. Itseisarvoyhtälöstä saadaan yleensä kaksi ratkaisupolkua.
Esimerkki 1
Ratkaise x
|2x| = 4
Määritelmän mukaan
2x = 4 tai 2x = -4, josta saadaan, että x = 2 tai x = -2.
Esimerkki 2
Ratkaise x
|3x – 6| = 9
Määritelmän mukaan
3x – 6 = 9 tai 3x – 6 = -9, josta saadaan x = 5 tai x = -1
Esimerkki 3
Ratkaise x
|4x – 7| = -5
Itseisarvo on aina suurempi tai yhtäsuuri kuin 0, joten edellisellä yhtälöllä ei ole ratkaisuja.
Kokeile
Saat näkyviin itseisarvoyhtälön ratkaisun analyyttisesti sekä lukusuoralla.
Esimerkki 4
Ratkaise yhtälö
Muodostetaan kaksi yhtälöä määritelmän mukaan
Saadaan kaksi toisen asteen yhtälöä. Ensimmäisen ratkaisut ovat x = -2 tai x = 3 ja jälkimmäisen ratkaisut ovat x = -1 tai x = 2, eli alkuperäisen itseisarvoyhtälön ratkaisut ovat x = -2, x = -1, x = 2 tai x = 3
Yhtälö, jossa kahden funktion itseisarvot ovat yhtä suuret, toteutuu, kun funktioden arvot ovat yhtäsuuret tai vastaluvut.
Esimerkki 5
Ratkaise yhtälö
|2x – 4|=|x – 5|
Puretaan määritelmän mukaan kahdeksi yhtälöksi
2x – 4 = x – 5 tai 2x – 4 = -(x – 5)
Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan x = -1 ja toisesta x = 3
Itseisarvon poistaminen korottamalla toiseen
Esimerkki 6
Ratkaise yhtälö
|2x + 3| = |x – 2|
Molemmat puolet yhtälöstä ovat positiivisia, joten voimme korottaa yhtälön puolittain toiseen.
Korottamalla yhtälö puolittain toiseen, päädymme toisen asteen yhtälöön, jonka ratkaisut esimerkiksi GeoGebralla on x = -5 tai x = -1/3
Esimerkki 7
Ratkaise yhtälö
|x + 3| – 2 = x – 5
Viedään aluksi -2 yhtälön oikealle puolelle.
|x + 3| = x – 3
Itseisarvo on aina positiivinen, joten on oltava
x – 3 > 0
x > 3
Korotetaan puolittain toiseen
Ratkaisu ei toteuta määrittelyehtoa, joten yhtälöllä ei ole ratkaisuja.
Harjoituksia
1. Millä muuttujan x arvolla polynomin 2x + 3 itseisarvo on 4?
Vihje
Muodosta itseisarvoyhtälö ja ratkaise se.
2. Millä muuttujan x arvolla polynomin x – 5 itseisarvo on yhtäsuuri kuin polynomin x + 3?
Vihje
Muodosta itseisarvoyhtälö ja ratkaise se.
3. Millä muuttujan x arvolla polynomin 3x – 5 itseisarvo on yhtäsuuri kuin polynomin 5x – 3?
Vihje
Muodosta itseisarvoyhtälö ja ratkaise se.
4. Ratkaise yhtälö
Vihje
Siirrä 3 yhtälön oikealle puolelle.
5. Ratkaise yhtälö
Vihje
Siirrä 2 yhtälön oikealle puolelle.
6. Ratkaise yhtälö
Vihje
Sievennä niin, että vasemmalla puolella on vain |x|
7. Ratkaise yhtälö
Vihje
Siirrä 2 yhtälön oikealle puolelle ja käytä määritelmää.
8. Määritä vakio a siten, että yhtälöllä on yksi ratkaisu
Vihje
Toisen asteen yhtälön ratkaisujen lukumäärä.
9. Ratkaise yhtälö
Vihje
Käytä määritelmää
10. Ratkaise yhtälö
Vihje
Käytä määritelmää
Vanhoja YO-tehtäviä
Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen
1. Ratkaise yhtälö
Kevät 2011 (1c kohta)
x=0 tai x=8
2. Ratkaise yhtälö
Kevät 2008 (2c kohta)
x=-1 tai x=7/3
3. Ratkaise yhtälö
Kevät 1977 (Lyhyt)
x=1/2
4. Ratkaise yhtälö
Syksy 1982
x=6/5
Osion perustehtävät