Yhtälöryhmä

Suorita MAA4-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.

Yhtälöparissa meillä on kaksi yhtälöä ja kaksi tuntematonta. Yhtälöparin ratkaisu touteuttaa molemmat yhtälöt.

Yhteenlaskukeino

Yhteenlaskukeinossa on aina samat vaiheet

1. Viedään muuttujat yhtälön vasemmalle ja vakiot oikealle puolelle

2. Valitaan toinen muuttujista

3. Muokataan valitun muuttujan eteen vastaluvut yhtälöihin

4. Lasketaan yhtälöt puolittain yhteen

5. Ratkaistaan jäljelle jäänyt muuttuja

6. Sijoitetaan ratkaistu muuttuja toiseen alkuperäisistä yhtälöistä

Esimerkki 1

Ratkaistaan yhtälöpari yhteenlaskukeinolla

Valitaan muuttujaksi y ja kerrotaan alempaa yhtälöä luvulla 2

Sijoitetaan x=4 ensimmäiseen yhtälöön

Yhtälöparin ratkaisu x=4 ja y=2

Sijoituskeino

Voimme myös ratkaista jomman kumman muuttujan toisesta yhtälöstä ja sijoittaa se toiseen yhtälöön.

Esimerkki 2

Ratkaistaan yhtälöpari

Ratkaistaan ylemmästä yhtälöstä y

Sijoitetaan alemman yhtälön muuttujan y paikalle ja ratkaistaan x

Tällöin saadaan muuttujan y arvoksi

Yhtälöparin ratkaisu x=2 ja y=3

Ratkaisu piirtämällä

Ratkaistaan esimerkki 2 yhtälöpari piirtämällä

Kuvaajat ovat suoria ja yhtälöparin ratkaisu on näiden suorien leikkauspiste (2,3), eli x=2 ja y=3.

Yhtälöryhmä

Yhtälöryhmässä on useampi muuttuja ja yhtälö. Mikäli muuttujia on kolme, tarvitaan kolme yhtälöä muuttujien ratkaisemiseen.

Esimerkki 3

Ratkaise yhtälöryhmä

Lasketaan aluksi ensimmäinen ja toinen yhtälö yhteen, jolloin y katoaa

Kerrotaan ensimmäinen yhtälö luvulla 2 ja lasketaan se sekä kolmas yhtälö yhteen

Muodostetaan yhtälöpari

Yhtälöparin ratkaisuksi saadaan x=1 ja z=3. Kun sijoitetaan x ja z yhtälöryhmän ensimmäiseen yhtälöön, saadaan y=2. Yhtälöryhmän ratkaisu tulee tarkistaa. Sijoittamalla x=1, y=2 ja z=3 yhtälöryhmän jokaiseen yhtälöön, huomataan, että ratkaisu toimii jokaisessa yhtälössä.

Esimerkki 4

Määritetään ympyrän yhtälö, joka kulkee pisteiden (-4,-2), (-1,-3) ja (2,-2) kautta.

Ratkaisu

Kaikki ympyrät ovat muotoa

Pisteet (-4,-2), (-1,-3) ja (2,-2) toteuttavat ympyrän yhtälön, joten sijoitetaan pisteet yhtälöön

Saadaan yhtälöryhmä

Kerrotaan toinen yhtälö luvulla -1 ja lasketaan se yhteen ensimmäisen yhtälön kanssa

Kerrotaan toinen yhtälö luvulla -1 ja lasketaan se yhteen kolmannen yhtälön kanssa

Saadaan yhtälöpari

Sijoitetaan

Joten ympyrän yhtälö on

Esimerkki 5

Ratkaise yhtälöryhmä

Yhtälöitä on vain kaksi vaikka tuntemattomia on kolme. Eliminoidaan muuttuja y.

Ratkaistaan tästä yhtälöstä z.

Eliminoidaan nyt alkuperäisestä yhtälöryhmästä x.

Ratkaistaan y

Koska muuttujalle z ei ole olemassa mitään ehtoja, voi se olla mikä tahansa reaaliluku. Merkitään muuttujan z arvoa parametrilla t. Tällöin yhtälöryhmän ratkaisuna on.

Yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua. Yksittäisratkaisut löydetään parametrin t eri arvoilla.

t=2

t=4

Harjoituksia

1. Ratkaise yhtälöryhmä 

Vihje

Eliminoi ensin y

2. Ratkaise yhtälöryhmä

Vihje

Eliminoi ensin z

3. Ympyrä kulkee pisteiden (-4,1),  (-1,-2) ja (1,1) kautta. Määritä ympyrän yhtälö. Mikä on ympyrän keskipiste ja säde?

Vihje

Sijoita pisteet ympyrän yhtälöön ja ratkaise A,B ja C

4. Kolmion sivujen keskipisteet ovat (0,8), (6,6) ja (2,4). Määritä kolmion kärkipisteet.

Vihje

Merkitse kärkipisteitä (x1,y1), (x2,y2) ja (x3,y3) ja muodosta janojen keskipisteet.

5. Liisa-Petteri valmisti taikajuomaa. Hänellä oli kolme ainesosaa: A, B ja C. Ainesosassa A oli totuusseerumia 10% ja voimalientä 40%. Ainesosassa B oli totuusseerumia 25% ja voimalientä 35% ja ainesosassa C oli totuusseerumia 15% ja voimalientä 30%. Miten paljon eri ainesosia pitää sekoittaa, kun Liisa-Petteri haluaa valmistaa taikajuoman, jossa on totuusseerumia 18% ja voimalientä 36% ja taikajuomaa tulee 150 litraa?

Vihje

Merkitse ainesosien määriä x, y ja z. Muodosta yhtälöt massan sekä totuusseerumin ja voimaliemen avulla.

6.  Liisa-Petterillä, Klaus-Heidilla ja Oravakuningas Mättösellä oli kerättynä talven varalle yhteensä 380 kärpässientä. Kun Liisa-Petteri antoi Klaus-Heidille 20 kärpässientä ja Mättönen löysi vielä 70 kärpässientä vanhasta varastostaan, oli kaveruksilla jokaisella yhtä monta kärpässientä. Kuinka monta sientä oli kullakin alkujaan?

Vihje

Merkitse sienimääriä x,y ja z. Muodosta yhtälöt tehtävänannon mukaan.

7.  Ratkaise yhtälöryhmä

Vihje

Eliminoi ensin x ja ratkaise y. Sitten eliminoi y ja ratkaise x.

8.  Liisa-Petteri osti vappusimaa yhden litran, kahden litran ja viiden litran kannuissa. Litran kannu simaa maksaa 5 €, kahden litran 8 € ja viiden litran 20 €. Yhteensä hän ostaa 51 litraa simaa. Simat maksoivat yhteensä 214 €. Liisa-Petterillä oli yhteensä 23 kannua. Kuinka monta kannua oli kutakin kokoa? 

Vihje

Merkitse kannuja x, y ja z. Muodosta kolme yhtälöä.

9. Metalliseokset sisältävät kultaa, hopeaa ja nikkeliä seuraavan taulukon mukaisesti. Seoksista tehdään sulattamalla uusi seos, jossa on 20% kultaa, 35% hopeaa ja 45% nikkeliä. Kuinka monta prosenttia uudessa seoksessa on alkuperäisiä seoksia A, B ja C?

Vihje

Merkitse lopullista määrää x. Muodosta kolme yhtälöä ja ratkaise A,B ja C x:n avulla lausuttuna.

10.  Pistejoukon yhtälö on ax + by + c= 0. Määritä kertoimet a, b ja c, kun pisteet (0,3), (2,1) ja (-2,5) kuuluvat pistejoukkoon.

Vihje

Pisteet toteuttavat yhtälön. Sijoita.

Ilmoita kertoimet toistensa avulla.