Sinilause
Suorita MAA3-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.
Mikäli kolmiosta tunnetaan mikä tahansa kulma ja sitä vastassa oleva sivu sekä jokin kolmas kolmion osa, voidaan muut osat laskea sinilauseen avulla. Sinilause sanoo, että kolmiossa sivun pituuden ja sitä vastassa olevan kulman sinin suhde on vakio.
Sinilause saadaan kolmion pinta-alan lausekkeesta. Jos tunnetaan kaksi sivua ja näiden välinen kulma saadaan laskettua kolmion pinta-ala. Yläpuolisen kolmion merkinnöillä pinta-ala olisi
Merkitään pinta-alat yhtäsuuriksi ja sievennetään yhtälöä
Näin saadaan, että kulman sinin suhde vastakkaisen sivun pituuteen on vakio. Myös käänteisluvut ovat yhtä suuret. Tätä kutsutaan sinilauseeksi.
Kokeile
Voit muuttaa kolmion kokoa ja muotoa vetämällä kolmion kärjistä. Näet jokaisen sivun suhteen vastakkaisen kulman siniin.
Esimerkki 1
Ratkaise sivun x pituus
Käytetään sinilausetta
Esimerkki 2
Lentokone lähti lentämään kohti koilista. 2,8 kilometrin jälkeen se kääntyi suoraan kohti itää ja jatkoi matkaa, kunnes kääntyi 161,6 astetta palatakseen takaisin lentokentälle. Kuinka kaukana lentokentästä lentokone toisen käännöksen aikana oli?
Hahmotellaan tilanne. Koilisen ja idän välillä on 45 astetta, joten muodostuvaan kolmioon tulee ensimmäisen käännöksen kulmaksi 135 astetta. Toisen käännöksen kolmion kulma on 18,4 astetta.
Lentokone oli noin 6,3 kilometrin etäisyydellä lentokentästä.
Harjoituksia
1. Kolmion sivujen pituudet ovat 2,0 ja 4,5 ja jälkimmäisen vastainen kulma on 40 astetta. Ratkaise kolmion kolmannen sivun pituus ja muiden kulmien suuruudet.
Vihje
Piirrä kuva ja käytä sinilausetta.
2. Kolmion yhden sivun pituus on 3,25 m. Sivun viereisten kulmien suuruudet ovat 32 astetta ja 76 astetta. Ratkaise kahden muun sivun pituudet sekä kolmion kolmas kulma.
Vihje
Mikä on kolmannen kulman suuruus?
3. Liisa-Petteri lensi avaruusaluksellaan kuun ohitse. Kello 13.20 kuu näkyy kulkusuunnasta 35,5 astatta oikealle. 30 minuutin kuluttua kuu näkyy 76,0 asteen kulmassa. Kuinka kaukana kuusta Liisa-Petteri lentää? Aluksen nopeus on 23 000 km/h.
Vihje
Kuinka pitkän matkan alus kulkee 30 minuutin aikana? muodosta kolmio.
4. Liisa-Petteri halusi mitata pihalla kasvavan koivun korkeuden. Hän asettui seisomaan pihalle ja mittasi, että puun latva näkyi 25,0 asteen kulmassa maahan nähden. Sitten hän käveli 1,5 metriä lähemmäs puuta ja mittasi kulman olevan tuolloin 32,5 astetta. Kuinka korkea puu on?
Vihje
Tehtävässä muodostuu 2 kolmiota, joiden avulla puun korkeus voidaan ratkaista.
5. Liisa-Petteri lähti lenkille. Hän juoksi suoraan järven veden päällä 3,2 km ja kääntyi sitten 35 astetta oikelle. Hetken aikaa juostuaan hän kääntyi ja palasi 6,8 km suoraa reittiä pitkin takaisin kotirantaansa. Kuinka pitkän matkan hän juoksi kokonaisuudessaan?
Vihje
Juoksureitistä muodostuu kolmio.
6. Osoita sinilausetta käyttäen, että sivu b on pisin ja sivu a on lyhin oheisessa kolmiossa.
Vihje
Esitä sivu b sivujen a ja c avulla
7. Liisa-Petteri oli palaamassa kotiinsa Manttijuun kaupunkiin. Hän seisoi vuoren rinteellä ja näki kotikaupunkinsa sekä naapurikaupungin Absurdian. Kaupunkien suunnat muodostavat 23 asteen kulman. Liisa-Petteri tietää, että Absurdiasta Manttijuuhun on 310 kilometriä. Vuoren päällä on myös tienviitta, joka kertoo, että Absurdiaan on matkaa 85 kilometriä. Manttijuun tieto kyltistä on kulunut pois. Molempiin kaupunkeihin kulkee lähestulkoon suora tie. Kuinka pitkä matka Liisa-Petterillä on vielä kotiinsa?
Vihje
Sinilause
8. Kolmion kulmien suhde on 2 : 3 : 4 sekä lyhimmän sivun pituus 2,0 cm. Kuinka pitkä on pisin sivu?
Vihje
Mikä on kolmion kulmien summa?
9. Kompassisuunnat ilmaistaan kulmina pohjoisesta myötäpäivään. Majakka näkyy veneestä kompassisuunnassa 228 astetta. Tämän jälkeen vene kulkee 5,0 km kompassisuuntaan 120 astetta, jolloin majakka näkyy kompassisuunnassa 249 astetta. Mikä on nyt veneen etäisyys majakasta?
Vihje
Piirrä kolmio ja merkitse kompassisuunnat. Näiden avulla saat kolmion kulmien suuruudet.
10. Liisa-Petterin mökki sijaitsi järven rannalla pisteessä A. Pisteessä B hän säilytti venettä, jolla souti mökilleen järven poikki. Hän halusi kuitenkin siirtää veneensä rannalla kohtaan, josta on lyhin matka mökille. Liisa-Petteri mittasi matkan rantatiellä BC, joka oli 1250 m. Rantatien ja mökin välisiksi kulmiksi Liisa-Petteri mittasi kohdassa B 86 astetta ja kohdassa C 77 astetta. Kuinka paljon lyhyempi on soutumatka paikasta, josta on lyhin matka mökille kuin alkuperäisestä paikasta B?
Vihje
Lyhin matka on kohtisuora etäisyys.
Vanhoja YO-tehtäviä
Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen.
1. Osa Helsingin Keskuskatua muutettiin kävelykaduksi ja päällystettiin Penrosen laatoilla, jotka keksi englantilainen matemaatikko Roger Penrose 1970-luvulla. Niiden avulla taso voidaan laatoittaa äärettömän monella eri tavalla niin, ettei laatoitus ole jaksollinen. Laattoja on kahta eri muotoa, leija ja nuoli. Molemmat ovat nelikulmioita, joiden kulmien suuruudet ja osa sivujen pituuksista on merkitty kuvioon.
a) Laske muiden sivujen pituuksien likiarvot kolmen desimaalin tarkkuudella.
b) Laske laattojen pinta-alojen likiarvot kolmen desimaalin tarkkuudella.
a) Muiden sivujen pituus on 1,618. b) Leijan pinta-ala on 1,539 ja nuolen 0,951.
2. Talosta 4 metrin korkeudelta katsottaessa linkkimaston huippu näkyy 25 asteen korkeuskulmassa ja 12 metriä korkeammalta katsottaessa 22,5 asteen korkeuskulmassa vaakatasoon nähden. Maston perusta on 21 metriä korkeammalla kuin talon perusta. Määritä maston korkeus 0,1 metrin tarkkuudella.
Kevät 2004
90,4 m
Osion perustehtävät