Suora ja taso
Suora avaruudessa voidaan ilmoittaa vektoreiden avulla. Kun tunnetaan suoralta jokin piste ja jokin suoran suuntavektori, on suora vektoreilla ilmoitettuna
missä s on suoran pisteen paikkavektori (monesti ilmaistaan OP), OA suoralla olevan pisteen paikkavektori, a suoran suuntavektori ja n jokin luku. Eli liikutaan origosta suoran pisteeseen A, jonka jälkeen suoran suuntavektorin avulla pääsemme suoran jokaiseen pisteeseen.
Yllä oleva suoran yhtälö on suoran vektorimuotoinen parametriesitys. Suora muodostuu parametrin n käydessä läpi kaikki reaaliluvut. Tätä kutsutaan myös suoran vektoriyhtälöksi.
Avaruuden suoran määrittää yksikäsitteisesti joko kaksi avaruuden pistettä tai yksi piste sekä jokin suoran suuntavektori
Pisteiden A ja B kautta kulkeva suora.
Pisteen A kautta kulkeva suora, jolla on suuntavektori a
Esimerkki 1
Suora kulkee avaruudessa pisteiden A(1,3,2) ja B(2,4,1) kautta. Määritetään suoran vektorimuotoinen parametriesitys. Suoran suuntavektori on vektori AB.
Suoran yhtälö
missä
Esimerkki 2
Onko piste (4,6,-1) edellisen esimerkin suoralla?
Muodostetaan suoran s komponenttimuotoinen parametriesitys
Saadaan yhtälöryhmä
Piste on suoralla vain ja jos vain löytyy luku n siten, että yhtälöryhmä toteutuu. Sijoitetaan piste (4,6,-1) yhtälöryhmään.
Yhtälöryhmä toteutuu, kun n=3. Piste on siis suoralla.
Suorien leikkauspiste
Esimerkki 3
Tutki leikkaako suora, joka kulkee pisteiden (0,0,0) ja (0,5,5) kautta suoran, joka kulkee pisteiden (-1,2,2) ja (3,-2,-2)
Piirretään aluksi suorat GeoGebralla.
Vieressä pisteiden A(0,0,0) ja B(0,5,5) kautta kulkeva suora vihreänä ja Pisteiden C(-1,2,2) ja D(3,-2,-2) kautta kulkeva suora punaisena.
GeoGebran perusteella suorat leikkaavat pisteessä (0,1,1)
Voit käännellä kuvaa hiirellä eri asentoihin vieressä.
Ratkaistaan tehtävä mös analyyttisesti.
Kaksi suoraa leikkaavat toisensa, jos niillä on yhteinen piste. Merkitään suoria kirjaimilla s ja t
Suorilla on leikkauspiste, jos löytyy kertoimet n ja m siten, että s=t.
Piste A on origossa, joten paikkavektoria OA ei tarvita laskuissa. (Tämä on nollavektori). Merkitään leikkauspistettä E.
Vektorit
Merkitään suorat yhtä suuriksi
Vektorien komponentit ovat yksikäsitteisiä, joten saadaan yhtälöryhmä
Löydettiin kertoimet m ja n, joten suorilla on leikkauspiste. Tällöin pisteen E paikkavektori on
joten leikkauspiste on E(0,1,1).
Taso
Tason määrää kolme pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla. Tason suuntavektorit saadaan pisteiden välisistä vektoreista.
Alapuolella on taso, joka kulkee pisteiden A(−2,2,2), B(1,1,0) ja C(2,1,2) kautta. Tason suuntavektorit AC (punainen) ja AB (vihreä).
Voi käännellä kuvaa hiirellä.
Esimerkki 4
Millä ehdolla piste P(x,y,z) on tasossa?
Pisteiden paikkavektorit ja tason suuntavektorit
Tason vektorimuotoinen esitys
Merkitään tasoa vektorilla p, joka on tason pisteen paikkavektori. Tason määräävät piste A sekä suuntavektorit AB ja AC.
Tässä vektorilla p merkitään pisteen P paikkavektoria OP ja se on
Jotta piste on tasossa, seuraavan yhtälön täytyy toteutua
Saadaan yhtälöryhmä
missä n ja t ovat jotain lukuja. Piste on tasossa vain ja jos vain löytyy luvut n ja t siten, että yhtälöryhmä toteutuu.
Tason normaalimuoto
Esimerkki 5
Esitetään edellisen esimerkin taso muodossa ax+by+cz+d=0.
Tämä on tason normaalimuoto. Palataan nimeen kappaleen ristitulo esimerkeissä.
Ratkaistaan alimmasta yhtälöstä n ja sijoitetaan se toiseen yhtälöön, josta ratkaistaan t.
Sijoitetaan ratkaistut n ja t ensimmäiseen yhtälöön
Viedään kaikki termit yhtälön vasemmalle puolelle ja kerrotaan nimittäjät pois.
Tämä on tason normaalimuotoinen yhtälö. Kaikki tason pisteet toteuttavat tämän yhtälön.
HARJOITUKSIA
1. Suora kulkee pisteiden (-1,-1,-2) ja (2,9,-5) kautta. Muodosta suoran vektoriyhtälö.
Vihje
Esimerkki 1
2. Suora kulkee pisteiden (0,1,1) ja (3,2,1) kautta. Onko piste (-2,3,4) suoralla?
Vihje
Esimerkki 2
3. Lentokone lähti lentokentältä, joka sijaitsee origossa. Nousun jälkeen se oli koordinaatisto pisteessä (15,8,10) ja jatkoi lentämistä nopeudella 900km/h vektorin a suuntaisesti. Kuinka kaukana lentokentästä lentokone oli tunnin kuluttua nousukorkeuden saavuttamisesta? Koordinaatiston yksikkö on 1 kilometri. Anna vastaus kilometrin tarkkuudella.
Vihje
Aseta paikkavektori suoran pisteeseen, jossa lentokone sijaitsee.
4. Pisteet A(2,-3,5), B(1,1,5) ja C(3,1,-2) määräävät tason. Onko piste (-1,9,5) tasossa?
Vihje
Esimerkki 4
5. Taso kulkee pisteiden (2,1,0), (-3,0,2) ja (1,2,0) kautta. Muodosta tason normaalimuoitoinen yhtälö.
Vihje
Esimerkki 5
6. Leikkaako suora, joka kulkee pisteiden A(2,-3,5) ja B(1,1,5) kautta suoran, joka kulkee pisteiden C(3,1,-2) ja D(0,9,3/2) kautta?
Vihje
Esimerkki 3
7. Suora on vektorin a suuntainen ja kulkee pisteen (2,3,7) kautta. Määritä sen ja tason x+2y+z=1 leikkauspiste.
Kevät 2003 (Muokattu tehtävänantoa.)
Vihje
Suoran ja tason leikkauspiste toteuttaa sekä suoran että tason yhtälöt.
8. Osoita, ettei taso, jonka määräävät origosta lähtevien vektoreiden a, b, ja c kärjet, millään x:n arvolla ole vektorin v suuntainen.
Kevät 1983 (Muokattu tehtävänantoa.)
Vihje
Jos vektori v on tason suuntainen, on se yksi tason suuntavektoreista.
9. Lasersäteellä osoitetaan pisteestä A(1, -2, 3) vektorin a suuntaan. Toisella säteellä osoitetaan pisteestä B(9, -1, -12) b suuntaan. Näytä, että säteet leikkaavat toisensa, ja määritä niiden leikkauspiste.
YO pitkä 2014k/8
Vihje
Esimerkki 3
