Geometrinen lukujono
Geometrinen lukujono on sellainen lukujono, jossa kahden peräkkäisen jäsenen välinen suhde on vakio
Yksinkertaisemmin sanottuna seuraava jäsen saadaan, kun edellinen kerrotaan jollain luvulla. Ja tämä luku on vakio, eli pysyy samana koko ajan.
2,4,8,16,32,...
Yläpuolella on geometrinen jono, sillä kahden peräkkäisen jäsenen suhde on 2. Tätä luku merkitään kirjaimella q. Jono jatkuisi 64,128,256,512,...
Kokeile
Anna jonon ensimmäinen jäsen sekä peräkkäisten jäsenten välinen suhdeluku q. Saat liu'ulla näkyviin 10 ensimmäistä jäsentä.
Esimerkki 1
Geometrisen lukujonon ensimmäinen jäsen on 3 ja toinen jäsen 6. Määritä jonon kaksi seuraavaa jäsentä.
Merkitään
Silloin
3. ja 4. jäsen
Yleinen jäsen
Geometrisessa lukujonossa meillä on luku q, jolla kerrotaan lukujonon jäsen, jotta saadaan seuraava jäsen. Toiseen jäseneen päästäksemme kerromme ensimmäisen jäsenen luvulla q. Kolmanteen jäseneen päästäksemme kerromme taas luvulla q, eli ensimmäinen jäsen kerrotaan kahdesti luvulla q, niin saamme kolmannen jäsenen. Neljäs jäsen saadaan, kun kerrotaan ensimmäinen jäsen kolmesti luvulla q. Ja niin edelleen.
Eli saamme minkä tahansa jäsenen, kun kerromme ensimmäistä jäsentä luvulla q potenssi yhtä pienempi luku kuin on jäsenen järjestysluku.
Esimerkki 2
Geometrisen lukujonon ensimmäinen jäsen on 2 ja toinen jäsen 6. Määritä jonon kymmenes jäsen.
10. jäsen yleisen jäsenen lausekkeen avulla
Esimerkki 3
Geometrisen jonon ensimmäinen jäsen on 3 ja toinen 9. Monesko jäsen
a) 729
b) 6562
on jonossa?
Ratkaistaan ensin yleinen jäsen
Tästä saadaan yhtälö
Ratkaistaan yhtälö käyttäen GeoGebraa, sillä meillä ei ole työkaluja sen ratkaisemiseksi kynällä ja paperilla. Merkitään muuttujaksi GeoGebrassa x.
729 on siis lukujonon 6. jäsen.
Ratkaistaan GeoGebralla myös b-kohta
Koska n on järjestysluku, se on luonnollinen luku. Ratkaisu ei ole luonnollinen luku, joten 6562 ei ole lukujonon jäsen.
Harjoituksia
1. Määritä lukujonon kolme seuraavaa jäsentä
a) 2, 4, 8,...
b) 3, 9, 27,...
c) -2, 4, -8,...
Vihje
Mikä on suhdeluku q?
2. Määritä lukujonon kolme seuraavaa jäsentä
a) 16, 8, 4,...
b) 3,0; 4,5; 6,75;...
c) 342, 456, 608,...
Vihje
Mikä on suhdeluku q?
3. Onko lukujono geometrinen?
a) 1, 2, 4,...
b) 2, -1, 2,...
c) 54, 18, 6,...
Vihje
Onko peräkkäisten jäsenten välinen suhde vakio?
4. Lukujonon kolme ensimmäistä jäsentä ovat 4, 16, 64.
a) Mikä on lukujonon peräkkäisten jäsenten suhdeluku q?
b) Määritä lukujonon yleisen jäsenen lauseke.
c) Laske lukujonon 6. jäsen.
Vihje
Sijoita yleisen jäsenen lausekkeeseen ensimmäinen jäsen ja suhdeluku q.
5. Määritä geometrisen lukujonon 5, 15, 45,..
a) kuudes jäsen
b) 50. jäsen
Vihje
Määritä ensin suhdeluku q ja sitten yleisen jäsenen lauseke.
6. Määritä geometrisen lukujonon 8, 12, 18,...
a) 10. jäsen
b) 100. jäsen
Vihje
Määritä ensin yleisen jäsenen lauseke.
7. Geometrisen lukujonon kolme ensimmäistä jäsentä ovat 1, 3, 9.
a) Kuinka mones lukujonon jäsen on 19683 ?
b) Kuuluuko luku 2178 lukujonoon?
Vihje
Muodosta yhtälö ja ratkaise se laskinohjelmalla.
8. Geometrisen lukujonon ensimmäinen jäsen on 10 ja viides jäsen on 160.
a) Mikä on peräkkäisten jäsenten suhde q?
b) Laske lukujonon 12. jäsen
Vihje
Ratkaise suhdeluku q yleisen jäsenen lausekkeen avulla.
9. Lukujonon ensimmäinen termi on 4 ja viides 1. Määritä jonon toinen, kolmas, neljäs ja kymmenes termi, kun jono on
a) aritmeettinen,
b) geometrinen.
YO kevät 2003/10
Vihje
Määritä ensin yleinen jäsen molemmissa kohdissa.
10. Määritä kaikki positiiviset kokonaisluvut x, joilla lukujono 27, x, 3 on
a) aritmeettinen
b) geometrinen.
YO syksy 2018/3
Vihje
a-kohdassa peräkkäisten jäsenten välinen erotus on vakio. Kohdassa b peräkkäisten jäsenten välinen suhde on vakio. Muodosta tämän avulla yhtälöt.