Suorita lukio-opintoja kesällä etänä Eirassa!

2. asteen yhtälö

Suorita MAA2-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.

Toisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, jossa on yhdessä termissä muuttujan toinen potenssi. Kaikki toisen asteen yhtälöt ovat muotoa

missä a on toisen asteen termin kerroin, b on ensimmäisen asteen termin kerroin ja c on vakiotermi.

Esimerkki 1

Tarkastellaan ensin vaillinnaista toisen asteen yhtälöä, josta puuttuu ensimmäisen asteen termi, eli b=0.

Tulon nollasääntö

Kertolaskun tulo on nolla jos ja vain jos yksi tai useampi tulon tekijöistä on nolla

Esimerkki 2

Toinen vaillinnainen toisen asteen yhtälö on sellainen, josta puuttuu vakiotermi, eli c=0.

Otetaan ensin yhteinen tekijä x kertoimeksi eteen. Nyt voimme käyttää tulon nollasääntöä.

Yhtälön ratkaisut ovat x = 0 tai x = 2.

Ratkaisukaava

Täydellisessä toisen asteen yhtälössä tarvitsemme ratkaisukaavaa. Eli kaikki kertoimet a, b ja c on erisuuria kuin 0.

Esimerkki 3

Ratkaistaan toisen asteen yhtälö käyttäen kaavaa

Kerätään kertoimet ja muistetaan, että etumerkki kuuluu mukaan lukuun

a=1, b=-2 ja c=-8

sijoitetaan kaavaan

Ratkaisut ovat siis x = –2 tai x = 4

Neliöksi täydentäminen

Toisen asteen yhtälö voidaan myös ratkaista neliöksi täydentämällä. Eli muokataan yhtälön vasemmalle puolelle binomin neliö.

Esimerkki 4

Muokataan yhtälö siten, että vasemmalla puolella on binomin neliö

Ratkaisujen yhteys yhtälöön

Välillä voimme nähdä ainakin kokonaislukuratkaisut yhtälön lausekkeesta ennen ratkaisua.

Toisen asteen yhtälön ratkaisujen tulo on vakiotermi c jaettuna a:lla ja ratkaisujen summa on b jaettuna a:lla vastaluku.

Varsinkin tapauksessa kun a = 1

Esimerkin 4 yhtälössä ratkaisut olivat x = –1 tai x = 5

Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja

Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on paraabeli. Toisen asteen termin kerroin a määrää aukeaako paraabeli ylös- vai alaspäin. Kun a > 0 paraabeli aukeaa ylöspäin. Kun a < 0 paraabeli aukeaa alaspäin. Mikäli a = 0, kyseessä ei ole toisen asteen polynomifunktio, koska toisen asteen termiä ei olisi.

Alapuolella on funktion f kuvaaja. Kuvaaja leikkaa x-akselin kohdissa x = –1 ja x = 5. Nämä ovat funktion nollakohdat, jotka ratkaisimme laskemalla esimerkissä 4.

KOKEILE

Voit muuttaa liukusäätimillä kertoimien a, b ja c arvoja. Näiden alapuolella näet toisen asteen funktion ja koordinaatistossa tämän kuvaajan.

Harjoituksia

1. Määrää vakio a siten, että yhtälön juuret ovat toistensa käänteislukuja.

Kevät 1971 (Lyhyt matematiikka - muokattu tehtävä)

Vihje

Käänteislukujen tulo on 1.

2. Etsi suurempi niistä kahdesta luvusta, joiden summa ja erotus ovat seuraavan ekvatsionin (yhtälön) juurina

Kevät 1897

Vihje

Merkitse lukuja a ja b

3. Muodosta se toisen asteen ekvatsioni (yhtälö) , jonka juurina ovat (alapuolisen) ekvatsionin juurten erotukset.

Syksy 1897

Vihje

Muodosta ensin juurten erotukset.

4. Yhtälön (alapuolella) juuret olkoot 𝛼 ja 𝛽. Lausu summa 𝛼² + 𝛽² mahdollisimman yksinkertaisesti a:ssa ja b:ssä.

Syksy 1908

Vihje

Juurten summa ja tulo

5. Määrää p ja q siten, että yhtälön (1) juuret ovat kaksinkertaiset yhtälön (2) juuriin verrattuina.

Syksy 1944 Lyhempi kurssi (Muokattu tehtävänanto)

Vihje

Juurten summa ja tulo. Merkitse juuria x1 ja x2 sekä x3 ja x4. Muodosta yhtälöparit sekä vakiolle p että vakiolle q.

6. Määritä toisen asteen yhtälön kertoimet p ja q, kun yhtälön juuret ovat x₁ ja x₂

Kevät 2010

Vihje

Juurten summa ja tulo

7. Ratkaise yhtälön reaalijuuret

Syksy 2008

Vihje

Korota yhtälö puolittain toiseen. Mitä arvoja x voi saada yhtälön vasemmalla puolella? Entä oikealla?

8. Etsi viisi sellaista peräkkäistä kokonaislukua, että kolmen ensimmäisen luvun neliöiden summa on sama kuin kahden viimeisen luvun neliöiden summa. Kuinka monta tällaista lukuviisikkoa on olemassa?

Syksy 1996 Lyhyt

Vihje

Merkitse ensimmäistä lukua x. Mikä on seuraava eli yksi suurempi?

Tehtävien ratkaisut

Osion perustehtävät

Google Sites

Report abuse