Jatkuvuus
Suorita MAA6-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.
Funktio on jatkuva, mikäli sen kuvaaja on yhtenäinen katkeamaton viiva. Kaikki polynomifunktiot ovat jatkuvia.
Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on yhteinäinen katkeamaton viiva. Kuvaaja on paraabeli. Polynomifunktiot ovat kaikkialla jatkuvia.
Rationaalifunktion kuvaaja ei ole yhtenäinen katkeamaton viiva. Alla olevassa tapauksessa kuvaajaa ei ole kohdassa x = 0. Funktio ei kuitenkaan ole määritelty tässä kohdassa ja rationaalifunktio onkin jatkuva määrittelyjoukossaan.
Tässä juurifunktion kuvaaja alkaa vasta, kun x = 2. Funktiota ei ole määritelty pienemmillä luvuilla kuin 2. Tämäkin funktio on jatkuva määrittelyjoukossaan.
Olkoon f jatkuva ja määritelty välillä [a,b].
Tällöin funktio saa kaikki arvot välillä f(a) ja f(b) ainakin kerran.
Muuttujan arvojen a ja b välistä löytyy arvot, joilla funktio saa kaikki arvot arvojen f(a) ja f(b) välissä.
Tämä edellinen huomio on erittäin kätevä silloin jos välin päätepisteet ovat erimerkkiset.
Koska kyseessä on jatkuva funktio ja se saa kaikki arvot päätepisteiden välillä, saa se myös arvon 0. Eli kuvaajan on pakko leikata x-akseli ainakin yhdessä kohtaa.
Bolzanon lause
Jos funktio f on jatkuva suljetulla välillä [a,b] ja sen arvot päätepisteissä ovat erimerkkiset, eli f(a) · f(b) < 0, on funktiolla ainakin yksi nollakohta välillä ]a,b[
Esimerkki 1
Osoita, että funktiolla f on ainakin yksi juuri välillä ]2,4[
Ratkaisu
Koska f(2) = -4 ja f(4) = 54, Bolzanon lauseen mukaan funktiolla on ainakin yksi juuri välillä ]2,4[
Esimerkki 2
Onko funktiolla juuri välillä ]1,2[? Mikä on juuren arvo kahden desimaalin tarkkuudella?
Ratkaisu
Koska f(1) = -1 ja f(2) = 4, funktiolla on ainakin yksi juuri Bolzanon lauseen mukaan.
Lyhennetään väliä ja katsotaan mihin asti päätepisteet pysyy erimerkkisinä.
f(1,1) = -0,869 ja f(1,9)=3,059
joten nollakohta on välillä ]1,1;1,9[
f(1,2) = -0,672 ja f(1,8)=2,232
nollakohta on välillä ]1,2;1,8[
f(1,3) = -0,403 ja f(1,7)=1,513
nollakohta on välillä ]1,3;1,7[
f(1,4) = -0,056 ja f(1,6)=0,896
nollakohta on välillä ]1,4;1,6[
Koska f(1,4) on lähempänä nollaa valitaan seuraavaksi väliksi
f(1,41) = -0,0168 ja f(1,45)=0,1486
nollakohta on välillä ]1,41;1,45[
f(1,42)=0,0233
joten nollakohta kahden desimaalin tarkkuudella on x = 1,41
Tätä menetelmää kutsutaan haarukoinniksi.
Funktio tietyssä kohdassa on jatkuva, jos funktion raja-arvo tässä kohdassa on yhtä suuri kuin funktion arvo samaisessa kohdassa.
Matemaattisesti funktio määritellään jatkuvaksi kohdassa b, jos funktion arvo on yhtä suuri kuin funktion raja-arvo tässä kohdassa.
Esimerkki 3
Määritä f(-2) siten, että funktio f on jatkuva kohdassa -2
Ratkaisu
Funktio on jatkuva kohdassa -2, mikäli
Määritetään funktion raja-arvo kohdassa 2.
Sijoittamalla -2 funktioon, on funktio muotoa 0/0, joten raja-arvo on olemassa.
Osoittajan nollakohdat on x = -2 ja x = 4.
Raja-arvo on -6, joten määrittelemällä
f(-2)=-6,
funktio on jatkuva kohdassa -6
Harjoituksia
1. Osoita, että yhtälöllä on ratkaisu välillä ]-2,-1[. Määritä ratkaisu kahden desimaalin tarkkuudella.
Vihje
Bolzanon lause
2. Osoita, että yhtälöllä on ratkaisu välillä ]1,2[. Määritä ratkaisu kahden desimaalin tarkkuudella.
Vihje
Bolzanon lause
3. Osoita, että yhtälöllä on aina ratkaisu välillä ]0,1[ , kun a > 0
Vihje
Bolzanon lause
4. Osoita, että funktiolla on juuri välillä ]0,1[, kun a < 0
Vihje
Millä vakion a arvoilla välin päätepisteissä arvot ovat erimerkkiset?
5. Määritä yhtälön positiivinen juuri yhden desimaalin tarkkuudella.
Vihje
Haarukointi
6. Osoita, että funktiolla f on ainakin yksi nollakohta. Määritä jokin väli, jossa nollakohta sijaitsee.
Vihje
Bolzanon lause
7. Funktiota ei ole määritelty kohdassa x = 3. Määritä funktion arvo f(3) siten, että funktio on jatkuva myös kohdassa 3..
Vihje
Millä ehdolla funktio on jatkuva kohdassa 3?
8. Osoita, että funktiolla on ainakin yksi juuri välillä ]0,1[, kun 0 < a < 2
Vihje
Minkälaiset ehdot saat vakiolle a?
9. Määritä funktio jatkuvaksi kohdassa -2
Vihje
Millä ehdolla funktio on jatkuva kohdassa -2?
10. Osoita, että polynomilla P: P(x) = x² - (a² + 2)x + a² = 0, (a ≠ 0) on nollakohta välillä ]0,2[
YO Syksy 1989
Vihje
Bolzanon lause