Embedded Files
Suorita lukio-opintoja kesällä etänä Eirassa!
Matematiikan ylioppilaskokeen A-osassa testataan perustaitoja ja CAS-ohjelmat eivät ole käytössä. Tässä osiossa on kuitenkin perus funktiolaskin sekä SpeedCrunch -laskin.
Voit ladata SpeedCrunchin koneellesi tästä.
Kysymykset voivat olla mistä tahansa moduulista, mutta on hyvä kerrata ainakin perusasiat.
Varmista, että osaat perustiedot ainakin
Voit kerrata aiheet oheisten linkkien kautta.
Alla on vanhoja YO-tehtäviä kokeiden alkuosasta, eli perustehtäviä. Jokaisen osa-alueen lopussa on tehtävä YO-kokeesta, jossa on ollut käytössä abitti-järjestelmä. Näihin tehtäviin on ratkaisut videona.
Kirjoita kaikkiin tehtäviin täydellinen ratkaisu.
Mikäli sinun täytyy kerrata tehtävässä esiintyviä aiheita, klikkaa videoiden läheltä itsesi kyseiseen osioon ja kertaa esimerkit ja ratkaise aiheen tehtävät, kunnes asia on hallussa.
Yhtälönratkaisu
Yhtälönratkaisu
1. Ratkaise yhtälö 7x + 3 = 31
YO lyhyt 2012k/1a
Vihje
Aloita viemällä vakiot oikealle
2. Ratkaise yhtälö 4x + (5x – 4) = 12 + 3x
YO lyhyt 2011k/1a
Vihje
Voiko sulkeet vain jättää pois?
3. Ratkaise yhtälö 5x − (1 − x) = 13x
YO lyhyt 2008k/2a
Vihje
Sulkeiden edessä on miinus. Miten se vaikuttaa sulkeiden avaamiseen?
4. Ratkaise yhtälö x + 2(4 + x) = −1
YO lyhyt 2006s/1a
Vihje
Kerro sulkeet auki
5. Ratkaise yhtälö 3x + 2 = x − 4(5x − 1)
YO lyhyt 2005k/1a
Vihje
Kerro sulkeet auki. Huomaa, että kerrot negatiivisella luvulla.
6. Ludwig van Beethoven, Wolfgang Amadeus Mozart ja Johann Sebastian Bach elivät yhteensä 156 vuotta. Bach eli yhdeksän vuotta vanhemmaksi kuin Beethoven, Mozart kuoli 21 vuotta nuorempana kuin Beethoven. Kuinka vanhoiksi säveltäjät elivät?
YO lyhyt 2011s/4
Vihje
Merkitse Beethovenin ikää muuttujalla x ja ilmaise Bachin ja Moxzartin iät tämän avulla.
7. Ratkaise yhtälö 5(3x + 1) − 4(3 − 2x) = 2x. Tutki, toteuttaako tämä ratkaisu myös yhtälön 27x³ − 54x + 17 = 0
YO lyhyt 2003s/2
Vihje
Mitä tapahtuu kun sijoitat saamasi x:n jälkimmäiseen yhtälöön?
8. Eräs luku henkilöitä suostui maksamaan tasan määrätyn summan hätääkärsiville. Jos jokainen maksaisi 5 mk, niin koottu summa olisi 110 mk liian suuri; jos taas jokainen olisi maksanut vain 3 mk, niin olisi se jäänyt 90 mk vaille. Montako osanottajaa oli ja suuriko oli koottava summa?
YO syksy 1893/1
Vihje
Merkitse henkilöiden määrää muuttujalla x. Ilmaise summan suuruus kahdella tavalla vihjeiden perusteella.
9. Ratkaise yhtälöpari
Syksy 2017/1b
Vihje
Siirrä muuttujat aluksi vasemmalle ja vakiot oikealle.
10. Tehtävä 2 Syksy 2022
10. Tehtävä 2 Syksy 2022
Klikkaa auki vihje tehtävän ratkaisuun tai käy kertaamassa tehtävään liittyvät osa-alueet.
Vihje
Kerro sulkeet auki
Vie muuttujat samalle puolelle ja käytä yhteenlaskukeinoa.
Matemaattinen malli ja suoran yhtälö
Matemaattinen malli ja suoran yhtälö
11. Helsinki, Salo ja Turku ovat likipitäen samalla suoralla. Helsingin ja Thrun välimatka on noin 165 km sekä Salon ja Turun välimatka noin 55 km.
Helsingissä oli eräänä päivänä lämpötila 17,1 °C ja Turussa 22,3 °C. Lämpötila muuttui tasaisesti Helsingin ja Turun välillä. Mikä oli tällöin lämpötila Salossa?
Syksy 1998
Vihje
Kuinka monta astetta lämpötila muuttuu kilometriä kohden?
12. Erään mallin mukaan naisten kuntoharjoittelun maksimisyke lasketaan kaavalla 226 – T ja miesten maksimisyke kaavalla 220 – T , kun T on henkilön ikä vuosina.
a) Kuinka monta prosenttia 18‐vuotiaan naisen maksimisyke on samanikäisen miehen maksimisykettä korkeampi?
b) Erään suosituksen mukaan kuntoharjoittelussa sykkeen tulisi olla 60−70 % maksimisykkeestä. Määritä nämä rajat 30‐vuotiaalle naiselle.
Kevät 2015
Vihje
Laske sykkeet sijoittamalla ikä T kaavoihin.
13. Alla on kolmen suoran kuvaajat. Esitä niiden yhtälöt muodossa y = kx + b. Perusteluita ei tarvita.
Kevät 2015
Vihje
Kulmakerroin kahden pisteen kautta. Vakio b saadaan kohdassa, jossa x=0
14. Missä pisteessä suorat x + 5y = 1 ja x – 5y = 5 leikkaavat toisensa?
Syksy 2014/1c
Vihje
Yhtälöpari
15. Missä pisteessä suora x – 5y = 4 leikkaa y-akselin?
Kevät 2014/2a
Vihje
Mikä on x-koordinaatti kysytyssä pisteessä?
16. Missä pisteissä suora y = –3x + 12 leikkaa koordinaattiakselit?
Syksy 2013/2a
Vihje
Mikä on y-koordinaatti x-akselin ja suoran leikkauspisteessä?
17. Tehtävä 3 Syksy 2022
17. Tehtävä 3 Syksy 2022
3. Polttoaineen kulutus 12 p.
Suomen Ilmavoimilla on ollut käytössään Hawk-harjoitushävittäjiä yli 40 vuoden ajan. Tässä tehtävässä mallinnetaan polttoaineen kulutusta, kun Hawk lentää normaalissa lentokorkeudessa 0,7-kertaisella äänen nopeudella.
Yksinkertaisessa mallissa polttoainetta arvioidaan kuluvan 8 litraa minuutissa. Kuinka kauan 760 litralla polttoainetta pystyy lentämään? (3 p.)
Todellisuudessa polttoaineen kulutus vähenee, kun lentokone kevenee. Paremmassa mallissa polttoaineen kulutusta mallinnetaan laskevan suoran avulla. Kulutus on 8,5 litraa minuutissa ajanhetkellä t = 0, ja 40 minuutin kuluttua 7,7 litraa minuutissa. Muodosta lauseke f(t), joka kuvaa polttoaineen kulutusta ajan funktiona tässä mallissa. (6 p.)
Ratkaise yhtälö f(t) =8 ja tulkitse vastaus sanallisesti. (3 p.)
Klikkaa auki vihje tehtävän ratkaisuun tai käy kertaamassa tehtävään liittyvät osa-alueet.
Vihje
Kuinka monta kertaa 8 menee lukuun 760?
Funktio on suora (y=kx+b) Huomioi, että muuttujana on t.
Mikä on t, jonka sait ratkaisuksi?
Geometriaa
Geometriaa
18. Kasvihuoneen pituus on 40 m, ja sen poikkileikkaus on puoliympyrän muotoinen. Puoliympyrän säde on 5 m
a) Lassella ei ollut käytössään laskinta, joten hän arvioi kasvihuoneen katon, eli kaarevan osan pinta-alaa käyttämällä likiarvoa π ≈ 3. Mikä on pinta-ala näin laskettuna?
b) Palattuaan kotiin Lasse laski laskimella pinta-alaksi 630 m2 kymmenen neliömetrin tarkkuudella. Kuinka monta prosenttia suurempi tai pienempi tämä tulos on Lassen alkuperäiseen arvioon verrattuna?
Syksy 2017/2
Vihje
Jos kasvihuoneen katto levitettäisiin tasaiselle alustalle, minkä muodon se muodostaisi? Mitkä olisi sivujen pituudet?
19. Suorakulmion kanta on 11 cm ja korkeus 7 cm. Sen kanta lyhenee 20 prosenttia, ja korkeus kasvaa 20 prosenttia. Kuinka monta prosenttia suorakulmion pinta‐ala pienenee?
Syksy 2013/2c
Vihje
Laske uusi kanta ja korkeus. Vertaa pinta-aloja-
20. Tasakylkisen kolmion kylki on 90 m ja kanta 40 m.
a) Laske kolmion huippukulma asteen tarkkuudella.
b) Laske kolmion pinta‐ala neliömetrin tarkkuudella
Syksy 2013/3
Vihje
Tasakylkinen kolmio voidaan jakaa kahteen suorakulmaiseen kolmioon.
21. Kuvan kaari‐ikkunassa on lasin tukena rimoja. Kuinka paljon rimaa tarvitaan kuvan mukai‐ seen kaari‐ikkunaan, kun x = 20 cm ja y = 40 cm? Rimaa käytetään kaikkiin kuvion janoihin ja puoliympyröiden kaariin. Anna vastaus senttimetrin tarkkuudella.
Syksy 2013/4
Vihje
Miten lasketaan ympyrän kehän pituus?
22. Kuution särmän pituus puolittuu. Kuinka monta prosenttia pienenee kuution
a) tilavuus?
b) sivutahkojen yhteenlaskettu pinta-ala?
Kevät 2014/4
Vihje
Merkitse särmän pituutta alussa 2a.
23. Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat 5,0 cm ja 8,0 cm. Määritä hypotenuusan pituus millimetrin tarkkuudella ja terävien kulmien suuruus asteen tarkkuudella.
Kevät 2014/3a
Vihje
Pythagoras
24. Muotoilukilpailun palkintolautakunta myöntää muistolaatan kilpailun parhaille teoksille. Lautakunnan taiteellinen avustaja tekee ensimmäisen version laatan pienoismallista käyttämällä Geogebra-ohjelman koordinaatistopiirrosta. Hän aloittaa suorakulmiosta, jonka leveys on 6 ja korkeus 9 pituusyksikköä. Leikkaamalla pois tämän suorakulmion kaikki neljä kulmaa eri tavoilla hän päätyy viereisen kuvion monikulmioon. Määritä tämän monikulmion pinta-ala.
Syksy 2018/2
Vihje
Poisleikattujen kulmien pinta-alat
25. Neliön sivun pituus on 2 ja ympyrän halkaisijan pituus on myös 2. Kuinka monta prosenttia neliön pinta‐ala on suurempi kuin ympyrän pinta‐ala?
Syksy 2015/1b
Vihje
Mikä on ympyrän säde?
26. Suunnikkaan sisälle piirretään pienempi suunnikas, jonka kärjet ovat alkuperäisen suunnikkaan sivujen keskipisteissä. Laske pienen suunnikkaan pinta‐ala käyttämällä kuvioon merkittyjä pituuksia.
Syksy 2015/2
Vihje
Kolmioiden pinta-alat.
27. Suorakulmaisessa kolmiossa ABC kateetin AB pituus on 4,4 cm ja hypotenuusan AC pituus 8 1, cm.
a) Laske kateetin BC pituus.
b) Laske kolmion terävien kulmien suuruudet 0,1 asteen tarkkuudella.
c) Laske kolmion pinta‐ala 0,1 neliösenttimetrin tarkkuudella.
Kevät 2015/4
Vihje
Suorakulmaisen kolmion kaavat
28. Tehtävä 3 Kevät 2019
28. Tehtävä 3 Kevät 2019
Värikäs lippu (12 p.)
Seychellien lipussa on viisi eri väriä kuvan 3.A mukaisesti. Kuinka monta prosenttia kukin väri peittää koko lipun pinta-alasta?
Vihje
Vihreä, valkoinen, sininen ja keltainen muodostavat kolmiot. Mikä on kanta ja korkeus kullakin kolmiolla?
29. Tehtävä 3 Syksy 2021
29. Tehtävä 3 Syksy 2021
3. Kukkaruukku 12 p.
Kukkaruukun pystysuora poikkileikkaus ja sisämitat on esitetty kuvassa 3.A. Kukkaruukun alaosa on suora katkaistu ympyräpohjainen kartio. Kukkaruukun pohjan halkaisija on 30 cm. Kukkaruukun alaosa levenee, kunnes se yhtyy kukkaruukun yläosaan, joka on suora ympyräpohjainen lieriö, jonka halkaisija on 40 cm. Kukkaruukun alaosan korkeus on 20 cm ja yläosan korkeus 15 cm. Laske kukkaruukun tilavuus.
Kuva 3.A.
Klikkaa auki vihje tehtävän ratkaisuun tai käy kertaamassa tehtävään liittyvät osa-alueet.
Tilastoja ja todennäköisyyksiä
Tilastoja ja todennäköisyyksiä
30. Hiihtokilpailun palkintojenjakotilaisuuteen osallistuu viisi nopeinta hiihtäjää, joilla oli kaikilla eri loppuaika. Tulospalvelu on kuitenkin pettänyt, eikä kukaan tiedä kilpailijoiden oikeaa järjestystä. Tilanteen pelastamiseksi palkintojenjakaja päättää ottaa riskin ja jakaa mitalit satunnaisesti.
a) Kuinka suurella todennäköisyydellä kaikki kolme mitalia menevät juuri oikeille kilpailijoille?
b) Kuinka suurella todennäköisyydellä mitalikolmikko on oikea? Mitalien järjestys saa siis olla väärä.
Kevät 2017/4
Vihje
a) Kuinka monta suotuisaa järjestystä on?
b) Kuinka monta suotuisaa järjestystä nyt on? Monellako tavalla voidaan valita ensimmäinen, toinen ja kolmas?
31. Abiturientilla on kaksi herätyskelloa. Uudempi toimii oikein 98 %:n todennäköisyydellä ja vanhempi 85 %:n todennäköisyydellä. Matematiikan kokeen aattona abiturientti asettaa molemmat kellot soimaan seuraavana aamuna. Millä todennäköisyydellä kelloista soi oikeaan aikaan a) molemmat, b) vain toinen, c) ei kumpikaan?
Syksy 2006
Vihje
Kertolasku- ja yhteenlaskusääntö
32. Frekvenssitaulukko
Taulukossa 4.A on esitetty aineisto beagle-koirien selän pituudesta.
Mikä on aineiston tyyppiarvo eli moodi? (2 p.)
Kuinka monta koiraa aineistoon sisältyy? (2 p.)
Mikä on aineiston koirien selän pituuden keskiarvo? (8 p.)
Kevät 2022/4
Vihje
Tyypillisin (yleisin) arvo aineistossa
Summa
Keskiarvo frekvessin (lukumäärän) avulla
33. Kuvion summafrekvenssikuvaaja esittää ammatissa toimivien lääkärien ikäjakaumaa vuonna 2001. (Lähde: Terveydenhuollon ammattihenkilöt 31.12.2001, Stakes 5/2002.)
Vihje
Mediaani-iässä 50% on alle sen iän ja 50% yli.
Arvioi kuvaajan perusteella
a) lääkäreiden mediaani-ikä,
b) ikä, jonka 25 % lääkärikunnasta alitti,
c) ikä, jonka 25 % lääkärikunnasta ylitti,
d) kuinka monta prosenttia lääkärikunnasta oli 40 vuotta täyttäneitä,
e) kuinka monta prosenttia enemmän oli alle 35-vuotiaita lääkäreitä kuin 55 vuotta täyttäneitä.
Syksy 2004/3
34. Sähkönkulutuksen jakauma vuonna 2001 käy ilmi alla olevista diagrammeista. Palveluiden ja julkisen sektorin kulutus oli 14 717 GWh. (Lähde: Ympäristötilasto 2002.) Kuinka suuri oli metalliteollisuuden sähkönkulutus kyseisenä vuonna?
Kevät 2003/2
Vihje
Laske ensin teollisuuden ja rakentamisen osuus
35. Tehtävä 4 Kevät 2019
35. Tehtävä 4 Kevät 2019
Tilastokysymyksiä nopanheitosta (12 p.)
Heitettiin noppaa, ja saatiin kuvan 4.A mukainen tulos, jota kutsutaan tässä tehtävässä aineistoksi.
4.1. Muodosta aineiston perusteella frekvenssitaulukko. Voit laatia taulukon kaavaeditorin taulukko-ominaisuudella tai pelkkänä tekstinä. (2 p.)
4.2. Mikä on aineiston moodi? Perustele lyhyesti vastauksesi. (2 p.)
4.3. Mikä on aineiston mediaani? Perustele lyhyesti vastauksesi. (3 p.)
4.4. Mikä on aineiston keskiarvo? Perustele lyhyesti vastauksesi. (3 p.)
4.5. Mikä on silmäluvun tilastollinen todennäköisyys tässä aineistossa? (2 p.)
Lukujonot
Lukujonot
36. Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen termi on 1 ja viides on 3. Mikä on jonon kymmenes termi?
Syksy 2010/2c
Vihje
Yleisen termin kaava
37. Määritä geometrisen lukujonon 2/3 , 4/9 , . . . kolmas termi.
Kevät 2007/2c
Vihje
Mikä on q?
38. Määritä kaikki positiiviset kokonaisluvut x, joilla lukujono 27, x, 3 on
a) aritmeettinen b) geometrinen.
Syksy 2018/3
Vihje
Peräkkäisten jäsenten välinen a) erotus b) suhde
39. Kuinka monta prosenttia suurempi on aritmeettisen lukujonon
2, 4, 6, 8, . . .
999 ensimmäisen termin summa kuin sen 888 ensimmäisen termin summa?
Kevät 2002/4
Vihje
Aritmeettisem summan kaava
40. Tehtävä 3 Kevät 2019
40. Tehtävä 3 Kevät 2019
Vihje
Kohta 2.
Aritmeettinen: Jäsenten erotus.
Geometrinen: Jäsenten suhde.
Google Sites
Report abuse