OSA-A

Suorita abikurssi verkossa Eirassa. 

Matematiikan ylioppilaskokeen A-osassa testataan perustaitoja ja CAS-ohjelmat eivät ole käytössä. Tässä osiossa on kuitenkin perus funktiolaskin sekä SpeedCrunch -laskin. 

Voit ladata SpeedCrunchin koneellesi tästä.

Kysymykset voivat olla mistä tahansa moduulista, mutta on hyvä kerrata ainakin perusasiat.

Varmista, että osaat perustiedot ainakin 

Voit kerrata aiheet oheisten linkkien kautta.

Alla on vanhoja YO-tehtäviä kokeiden alkuosasta, eli perustehtäviä. Jokaisen osa-alueen lopussa on tehtävä YO-kokeesta, jossa on ollut käytössä abitti-järjestelmä. Näihin tehtäviin on ratkaisut videona. 

Kirjoita kaikkiin tehtäviin täydellinen ratkaisu.

Mikäli sinun täytyy kerrata tehtävässä esiintyviä aiheita, klikkaa videoiden läheltä itsesi kyseiseen osioon ja kertaa esimerkit ja ratkaise aiheen tehtävät, kunnes asia on hallussa.

Yhtälönratkaisu

1. Ratkaise yhtälö 7x + 3 = 31

YO lyhyt 2012k/1a

Vihje

Aloita viemällä vakiot oikealle 

2.  Ratkaise yhtälö 4x + (5x – 4) = 12 + 3x

YO lyhyt 2011k/1a

Vihje

Voiko sulkeet vain jättää pois? 

3. Ratkaise yhtälö 5x − (1 − x) = 13x

YO lyhyt 2008k/2a

Vihje

Sulkeiden edessä on miinus. Miten se vaikuttaa sulkeiden avaamiseen? 

4. Ratkaise yhtälö  x + 2(4 + x) = −1

YO lyhyt 2006s/1a

Vihje

Kerro sulkeet auki 

5. Ratkaise yhtälö 3x + 2 =  x − 4(5x − 1)

YO lyhyt 2005k/1a

Vihje

Kerro sulkeet auki. Huomaa, että kerrot negatiivisella luvulla. 

6. Ludwig van Beethoven, Wolfgang Amadeus Mozart ja Johann Sebastian Bach elivät yhteensä 156 vuotta. Bach eli yhdeksän vuotta vanhemmaksi kuin Beethoven, Mozart kuoli 21 vuotta nuorempana kuin Beethoven. Kuinka vanhoiksi säveltäjät elivät?

YO lyhyt 2011s/4

Vihje

Merkitse Beethovenin ikää muuttujalla x ja ilmaise Bachin ja Moxzartin iät tämän avulla. 

7. Ratkaise yhtälö 5(3x + 1) − 4(3 − 2x) = 2x. Tutki, toteuttaako tämä ratkaisu myös yhtälön 27x³ − 54x + 17 = 0

YO lyhyt 2003s/2

Vihje

Mitä tapahtuu kun sijoitat saamasi x:n jälkimmäiseen yhtälöön? 

8. Eräs luku henkilöitä suostui maksamaan tasan määrätyn summan hätääkärsiville. Jos jokainen maksaisi 5 mk, niin koottu summa olisi 110 mk liian suuri; jos taas jokainen olisi maksanut vain 3 mk, niin olisi se jäänyt 90 mk vaille. Montako osanottajaa oli ja suuriko oli koottava summa?

YO syksy 1893/1

Vihje

Merkitse henkilöiden määrää muuttujalla x. Ilmaise summan suuruus kahdella tavalla vihjeiden perusteella. 

9. Ratkaise yhtälöpari

Syksy 2017/1b

Vihje

Siirrä muuttujat aluksi vasemmalle ja vakiot oikealle. 

10. Tehtävä 2 Syksy 2022

Klikkaa auki vihje tehtävän ratkaisuun tai käy kertaamassa tehtävään liittyvät osa-alueet.

Vihje

Matemaattinen malli ja suoran yhtälö

11. Helsinki, Salo ja Turku ovat likipitäen samalla suoralla. Helsingin ja Thrun välimatka on noin 165 km sekä Salon ja Turun välimatka noin 55 km. 

Helsingissä oli eräänä päivänä lämpötila 17,1 °C ja Turussa 22,3 °C. Lämpötila muuttui tasaisesti Helsingin ja Turun välillä. Mikä oli tällöin lämpötila Salossa?

Syksy 1998

Vihje

Kuinka monta astetta lämpötila muuttuu kilometriä kohden?

12. Erään mallin mukaan naisten kuntoharjoittelun maksimisyke lasketaan kaavalla 226 T ja miesten maksimisyke kaavalla 220 T , kun T on henkilön ikä vuosina.

a) Kuinka monta prosenttia 18‐vuotiaan naisen maksimisyke on samanikäisen miehen maksimisykettä korkeampi?

b) Erään suosituksen mukaan kuntoharjoittelussa sykkeen tulisi olla 60−70 % maksimisykkeestä. Määritä nämä rajat 30‐vuotiaalle naiselle.

Kevät 2015

Vihje

Laske sykkeet sijoittamalla ikä T kaavoihin.

13. Alla on kolmen suoran kuvaajat. Esitä niiden yhtälöt muodossa y = kx + b. Perusteluita ei tarvita.

Kevät 2015

Vihje

Kulmakerroin kahden pisteen kautta. Vakio b saadaan kohdassa, jossa x=0

14. Missä pisteessä suorat x + 5y = 1 ja x 5y = 5 leikkaavat toisensa?

Syksy 2014/1c

Vihje

Yhtälöpari

15. Missä pisteessä suora x 5y = 4 leikkaa y-akselin? 

Kevät 2014/2a

Vihje

Mikä on x-koordinaatti kysytyssä pisteessä?

16. Missä pisteissä suora y = 3x + 12 leikkaa koordinaattiakselit

Syksy 2013/2a

Vihje

Mikä on y-koordinaatti x-akselin ja suoran leikkauspisteessä?

17. Tehtävä 3 Syksy 2022

3. Polttoaineen kulutus 12 p.

Suomen Ilmavoimilla on ollut käytössään Hawk-harjoitushävittäjiä yli 40 vuoden ajan. Tässä tehtävässä mallinnetaan polttoaineen kulutusta, kun Hawk lentää normaalissa lentokorkeudessa 0,7-kertaisella äänen nopeudella.


Klikkaa auki vihje tehtävän ratkaisuun tai käy kertaamassa tehtävään liittyvät osa-alueet.

Vihje

Suorita abikurssi verkossa Eirassa. 

Geometriaa

18. Kasvihuoneen pituus on 40 m, ja sen poikkileikkaus on puoliympyrän muotoinen. Puoliympyrän säde on 5 m 

a) Lassella ei ollut käytössään laskinta, joten hän arvioi kasvihuoneen katon, eli kaarevan osan pinta-alaa käyttämällä likiarvoa π ≈ 3. Mikä on pinta-ala näin laskettuna?

 b) Palattuaan kotiin Lasse laski laskimella pinta-alaksi 630 m2 kymmenen neliömetrin tarkkuudella. Kuinka monta prosenttia suurempi tai pienempi tämä tulos on Lassen alkuperäiseen arvioon verrattuna? 

Syksy 2017/2

Vihje

Jos kasvihuoneen katto levitettäisiin tasaiselle alustalle, minkä muodon se muodostaisi? Mitkä olisi sivujen pituudet?

19. Suorakulmion kanta on 11 cm ja korkeus 7 cm. Sen kanta lyhenee 20 prosenttia, ja korkeus kasvaa 20 prosenttia. Kuinka monta prosenttia suorakulmion pinta‐ala pienenee? 

Syksy 2013/2c

Vihje

Laske uusi kanta ja korkeus. Vertaa pinta-aloja-

20. Tasakylkisen kolmion kylki on 90 m ja kanta 40 m. 

a) Laske kolmion huippukulma asteen tarkkuudella. 

b) Laske kolmion pinta‐ala neliömetrin tarkkuudella 

Syksy 2013/3

Vihje

Tasakylkinen kolmio voidaan jakaa kahteen suorakulmaiseen kolmioon. 

21. Kuvan kaari‐ikkunassa on lasin tukena rimoja. Kuinka paljon rimaa tarvitaan kuvan mukai‐ seen kaari‐ikkunaan, kun x = 20 cm ja y = 40 cm? Rimaa käytetään kaikkiin kuvion janoihin ja puoliympyröiden kaariin. Anna vastaus senttimetrin tarkkuudella. 

Syksy 2013/4

Vihje

Miten lasketaan ympyrän kehän pituus? 

22. Kuution särmän pituus puolittuu. Kuinka monta prosenttia pienenee kuution 

a) tilavuus? 

b) sivutahkojen yhteenlaskettu pinta-ala? 

Kevät 2014/4

Vihje

Merkitse särmän pituutta alussa 2a. 

23. Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat 5,0 cm ja 8,0 cm. Määritä hypotenuusan pituus millimetrin tarkkuudella ja terävien kulmien suuruus asteen tarkkuudella. 

Kevät 2014/3a

Vihje

Pythagoras

24. Muotoilukilpailun palkintolautakunta myöntää muistolaatan kilpailun parhaille teoksille. Lautakunnan taiteellinen avustaja tekee ensimmäisen version laatan pienoismallista käyttämällä Geogebra-ohjelman koordinaatistopiirrosta. Hän aloittaa suorakulmiosta, jonka leveys on 6 ja korkeus 9 pituusyksikköä. Leikkaamalla pois tämän suorakulmion kaikki neljä kulmaa eri tavoilla hän päätyy viereisen kuvion monikulmioon. Määritä tämän monikulmion pinta-ala. 

Syksy 2018/2

Vihje

Poisleikattujen kulmien pinta-alat

25. Neliön sivun pituus on 2 ja ympyrän halkaisijan pituus on myös 2. Kuinka monta prosenttia neliön pinta‐ala on suurempi kuin ympyrän pinta‐ala? 

Syksy 2015/1b

Vihje

Mikä on ympyrän säde?

26. Suunnikkaan sisälle piirretään pienempi suunnikas, jonka kärjet ovat alkuperäisen suunnikkaan sivujen keskipisteissä. Laske pienen suunnikkaan pinta‐ala käyttämällä kuvioon merkittyjä pituuksia. 

Syksy 2015/2

Vihje

Kolmioiden pinta-alat.

27. Suorakulmaisessa kolmiossa ABC kateetin AB pituus on 4,4 cm ja hypotenuusan AC pituus 8 1, cm.   

a) Laske kateetin BC pituus. 

b) Laske kolmion terävien kulmien suuruudet 0,1 asteen tarkkuudella. 

c) Laske kolmion pinta‐ala 0,1 neliösenttimetrin tarkkuudella. 

Kevät 2015/4

Vihje

Suorakulmaisen kolmion kaavat

28. Tehtävä 3 Kevät 2019

Värikäs lippu (12 p.) 

Seychellien lipussa on viisi eri väriä kuvan 3.A mukaisesti. Kuinka monta prosenttia kukin väri peittää koko lipun pinta-alasta? 

Vihje

Vihreä, valkoinen, sininen ja keltainen muodostavat kolmiot. Mikä on kanta ja korkeus kullakin kolmiolla?

29. Tehtävä 3 Syksy 2021

3. Kukkaruukku 12 p.

Kukkaruukun pystysuora poikkileikkaus ja sisämitat on esitetty kuvassa 3.A. Kukkaruukun alaosa on suora katkaistu ympyräpohjainen kartio. Kukkaruukun pohjan halkaisija on 30 cm. Kukkaruukun alaosa levenee, kunnes se yhtyy kukkaruukun yläosaan, joka on suora ympyräpohjainen lieriö, jonka halkaisija on 40 cm. Kukkaruukun alaosan korkeus on 20 cm ja yläosan korkeus 15 cm. Laske kukkaruukun tilavuus. 


Kuva 3.A.

Klikkaa auki vihje tehtävän ratkaisuun tai käy kertaamassa tehtävään liittyvät osa-alueet.

Vihje

Hae taulukoista kaavat katkaistulle kartiolle ja ympyrälieriölle.

Tilastoja ja todennäköisyyksiä

30. Hiihtokilpailun palkintojenjakotilaisuuteen osallistuu viisi nopeinta hiihtäjää, joilla oli kaikilla eri loppuaika. Tulospalvelu on kuitenkin pettänyt, eikä kukaan tiedä kilpailijoiden oikeaa järjestystä. Tilanteen pelastamiseksi palkintojenjakaja päättää ottaa riskin ja jakaa mitalit satunnaisesti. 

a) Kuinka suurella todennäköisyydellä kaikki kolme mitalia menevät juuri oikeille kilpailijoille? 

b) Kuinka suurella todennäköisyydellä mitalikolmikko on oikea? Mitalien järjestys saa siis olla väärä. 

Kevät 2017/4

Vihje

a) Kuinka monta suotuisaa järjestystä on?

b) Kuinka monta suotuisaa järjestystä nyt on? Monellako tavalla voidaan valita ensimmäinen, toinen ja kolmas?

31. Abiturientilla on kaksi herätyskelloa. Uudempi toimii oikein 98 %:n todennäköisyydellä ja vanhempi 85 %:n todennäköisyydellä. Matematiikan kokeen aattona abiturientti asettaa molemmat kellot soimaan seuraavana aamuna. Millä todennäköisyydellä kelloista soi oikeaan aikaan a) molemmat, b) vain toinen, c) ei kumpikaan? 

Syksy 2006

Vihje

Kertolasku- ja yhteenlaskusääntö

32. Frekvenssitaulukko

Taulukossa 4.A on esitetty aineisto beagle-koirien selän pituudesta.

Kevät 2022/4

Vihje

33. Kuvion summafrekvenssikuvaaja esittää ammatissa toimivien lääkärien ikäjakaumaa vuonna 2001. (Lähde: Terveydenhuollon ammattihenkilöt 31.12.2001, Stakes 5/2002.) 

Vihje

Mediaani-iässä 50% on alle sen iän ja 50% yli.

Arvioi kuvaajan perusteella 

a) lääkäreiden mediaani-ikä, 

b) ikä, jonka 25 % lääkärikunnasta alitti, 

c) ikä, jonka 25 % lääkärikunnasta ylitti, 

d) kuinka monta prosenttia lääkärikunnasta oli 40 vuotta täyttäneitä, 

e) kuinka monta prosenttia enemmän oli alle 35-vuotiaita lääkäreitä kuin 55 vuotta täyttäneitä.

Syksy 2004/3

34. Sähkönkulutuksen jakauma vuonna 2001 käy ilmi alla olevista diagrammeista. Palveluiden ja julkisen sektorin kulutus oli 14 717 GWh. (Lähde: Ympäristötilasto 2002.) Kuinka suuri oli metalliteollisuuden sähkönkulutus kyseisenä vuonna? 

Kevät 2003/2

Vihje

Laske ensin teollisuuden ja rakentamisen osuus

35. Tehtävä 4 Kevät 2019

Tilastokysymyksiä nopanheitosta (12 p.) 

Heitettiin noppaa, ja saatiin kuvan 4.A mukainen tulos, jota kutsutaan tässä tehtävässä aineistoksi.

4.1. Muodosta aineiston perusteella frekvenssitaulukko. Voit laatia taulukon kaavaeditorin taulukko-ominaisuudella tai pelkkänä tekstinä. (2 p.)

4.2. Mikä on aineiston moodi? Perustele lyhyesti vastauksesi. (2 p.)

4.3. Mikä on aineiston mediaani? Perustele lyhyesti vastauksesi. (3 p.)

4.4. Mikä on aineiston keskiarvo? Perustele lyhyesti vastauksesi. (3 p.)

4.5. Mikä on silmäluvun tilastollinen todennäköisyys tässä aineistossa? (2 p.)



Vihje

Laske silmälukujen 1-6 määrät ja taulukoi ne.

Lukujonot

36. Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen termi on 1 ja viides on 3. Mikä on jonon kymmenes termi? 

Syksy 2010/2c

Vihje

Yleisen termin kaava

37. Määritä geometrisen lukujonon 2/3 , 4/9 , . . . kolmas termi. 

Kevät 2007/2c

Vihje

Mikä on q?

38. Määritä kaikki positiiviset kokonaisluvut x, joilla lukujono 27, x, 3 on 

a) aritmeettinen b) geometrinen. 

Syksy 2018/3

Vihje

Peräkkäisten jäsenten välinen a) erotus b) suhde

39. Kuinka monta prosenttia suurempi on aritmeettisen lukujonon 

2, 4, 6, 8, . . . 

999 ensimmäisen termin summa kuin sen 888 ensimmäisen termin summa? 

Kevät 2002/4

Vihje

Aritmeettisem summan kaava

40. Tehtävä 3 Kevät 2019

Vihje

Kohta 2. 

Aritmeettinen: Jäsenten erotus. 

Geometrinen: Jäsenten suhde.