Yhdistetyn funktion derivaatta
Suorita MAA6-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.
Yhdistetty funktio voidaan derivoida seuraavan säännön avulla
Tätä kutsutaan ketjusäännöksi. Yhdistetyn funktion derivaatta on siis ulkofunktion derivaatta u' kohdassa s(x) kertaa sisäfunktion derivaatta s'.
Esimerkki 1
Derivoi funktio
Tunnistetaan funktio yhdistetyksi funktioksi. Ulko- ja sisäfunktiot ovat
Näiden derivaatat ovat
Funktio f derivaatta ketjusäännön avulla
Esimerkki 2
Derivoi funktio
Funktion ulko- ja sisäfunktiot
Derivaatta ketjusäännön avulla
Esimerkki 3
Määritä funktio f derivaatan nollakohdat
Funktio muodostuu kahden funktion tulosta, joista toinen on yhdistetty funktio. Käytetään tulon derivoimiskaavaa
Jälkimmäiseen funktioon sovelletaan ketjusääntöä. Tällöin derivaatta on
Derivaatan molemmissa termeissä on yhteisinä tekijöinä
Otetaan yhteinen tekijä, jolloin saadaan
Derivaatan nollakohdat saadaan tulon nollasäännöllä
Tästä nollakohdat ovat
Funktion f derivaattafunktion nollakohdat ovat siis x=-2, x=-4/5 ja x=0
Kuvassa vihreä on funktion f kuvaaja ja vihreä on derivaattafunktion f' kuvaaja.
Harjoituksia
1. Derivoi
Vihje
Ketjusääntö
2. Määritä
Vihje
Ketjusääntö
3. Määritä funktion derivaatta kohdassa x = -1
Vihje
Derivoi ja sijoita
4. Määritä funktion derivaatta kohdassa x = 3
Vihje
Ei tarvitse sieventää derivaattaa
5. Määritä derivaattafunktion nollakohta
Vihje
Tulon nollasääntö
6. Määritä derivaattafunktion nollakohta
Vihje
Tulon nollasääntö
7. Derivoi
Vihje
Derivoi termi kerrallaan
8. Derivoi
Vihje
Tulon derivaatta
9. Ratkaise derivaattafunktion nollakohdat
Vihje
Yhteinen tekijä
10. Ratkaise derivaattafunktion nollakohdat
Vihje
Neliöiden erotus ensimmäinen sulkulauseke.
