Avaruusvektorit
Kun käsittelemme vektoreita avaruudessa, tulee meille yksi ulottovuus lisää. Koordinaatistossa lisätään z-akseli, joka on kohtisuorassa xy-tasoa vastaan. Vektoreiden toiminta ja periaate pysyy aivan samana avaruudessa, kuin se oli tasossakin.
Alla olevassa koordinaatistossa x-akseli on punainen, y-akseli vihreä ja z-akseli sininen. z-akselin suuntaista kantavektoria merkitään kirjaimella k.
Kuvassa näkyvä vektori, joka on pisteen (-10,3,2) paikkavektori, on
Pisteen paikkavektori on origosta pisteeseen piirretty vektori aivan kuten tason vektorien tapauksessa.
Vektori avaruudessa voidaan ajatella olevan suorakulmaisen särmiön avaruuslävistäjä. Edellä olevaan voitaisiin ajatella särmiö, jonka särmien pituudet ovat 10, 3 ja 2. Avaruuslävistäjän pituus saadaan laskettua käyttäen apuna pythagoraan lausetta.
Tällöin avaruuslävistäjän pituus on
joten vektorin a pituus on
Yleisesti avaruusvektorin pituus saadaan
kun vektori a on
xyz-koordinaatiston kantavektorit
Kolmiulotteisen koordinaatiston kantavektorit ovat
Vektorit i ja j ovat x- ja y-akselin suuntaisia, kuten tasonkin tapauksessa. Vektori k on z-akselin suuntainen.
Kantavektorien pituus on 1.
Jokainen avaruuden vektori voidaan ilmaista kantavektorien i, j ja k avulla.
Esimerkki 1
Olkoon piste A(1,3,2) ja piste B(3,2,6). Määritä vektori AB.
Ratkaisu
Hahmotellaan tilanne. Hahmottelun ei tarvitse olla koordinaatistoon piirrettynä.
Merkitään origoa kirjaimella O ja piirretään pisteisiin A ja B paikkavektorit sekä vektori pisteestä A pisteeseen B.
Haetaan pisteiden A ja B paikkavektorit
Tällöin vektori AB saadaan, kun mennään pisteen A paikkavektoria vastaan ja pisteen B paikkavektoria myöden
Esimerkki 2
Pisteen B paikkavektori on OB ja vektori pisteestä A pisteeseen B on AB. Määritä piste A.
Ratkaisu
Haetaan pisteen A paikkavektori.
Vektorit OB ja AB tunnetaan, joten
Nyt voidaan ratkaista vektori OA
Paikkavektorista voidaan lukea pisteen A koordinaatit suoraan, joten piste A on (5,-6,4)
Esimerkki 3
Jaa vektori a, vektorien b ja c suuntaisiin komponentteihin.
Ratkaisu
Vektori a voidaan jakaa vektoreiden b ja c suuntaisiin komponentteihin, jos löydetään kertoimet r ja s siten, että
Tällöin saadaan
Sijoitetaan vektorit a,b ja c.
Avataan sulkeet.
Lasketaan yhteen samojen komponenttien kertoimet.
Vektorien komponentit ovat yksikäsitteisiä, joten saadaan yhtälöryhmä
Ensimmäisestä yhtälöstä nähdään, että r =2. Tämä toteutuu myös toisen yhtälön kohdalla. Tällön viimeisestä yhtälöstä voidaan ratkaista s = 4.
Silloin tehtävän vastaus on
Esimerkki 4
Millä x:n positiivisella arvolla vektoreiden i, j ja xk kärkien määräämän kolmion ala on 2?
Matematiikan YO - Pitkä oppimäärä - syksy 1984 5b
Ratkaisu
Hahmotellaan vektorit sekä kärkien muodostama kolmio.
Merkitään kolmion kantaa vektorilla a ja kolmion korkeutta vektorilla b.
Tällöin kanta sekä korkeus on kyseisten vektorien pituudet.
Vektori a on vektorin i kärjestä vektorin j kärkeen, eli
Kolmion korkeus (eli vektori b) saadaan. kun liikutaan puolikkaan vektorin a verran vektorin j kärkeen ja sitten vektoria j vastaan ja lopuksi vielä vektorilla xk kolmion kärkeen.
Tällöin vektori b on
Vektorien pituudet
Kolmion pinta-ala on kanta kertaa korkeus jaettuna kahdella, joten saadaan
Ratkaistaan yhtälö
Yhtälölle tulee kaksi ratkaisua ja molemmat kelpaavat. Negatiivisella arvolla kolmiosta muodostuu samanlainen, mutta sen kärki on negatiivisella z-akselilla.
Tarkistetaan tulos vielä GeoGebralla
Merkitään kolmion kärkipisteet ja asetetaan siihen monikulmio. GeoGebra näyttää kolmion pinta-alaksi 2.
Vanhoja YO-tehtäviä
Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen
1. Kolmion kärjet ovat pisteissä (0,0,0),(1/2,1,0) ja (0,1,1). Piirrä kuva kolmiosta xyz-koordinaatistoon. Kuinka suuri on kolmion pinta-ala?
Kevät 1995
√(6)/4 ≈ 0,61
2. Laske kolmion P1P2P3 ala, kun vektorit ovat
Syksy 1996 (Muokattu tehtävänantoa)
3√(3)/2 ≈ 2,60
