Embedded Files
Suorita lukio-opintoja kesällä etänä Eirassa!
Suorita MAA5-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.
Trigonometrian peruskaava
Origosta yksikköympyrän kehäpisteeseen piirretty säde muodostaa suorakulmaisen kolmion, jossa säde on hypotenuusa. Kateetit ovat x ja y. Tällöin pythagoraan lauseella saadaan
Tämä on myös yksisäteisen origokeskeisen ympyrän yhtälö.
Koska cos(𝛼)=x ja sin(𝛼)=y, saadaan
Tämä on trigonometrian peruskaava.
Radiaanit
Täysikulma on 360° ja yksikköympyrän kehänpituus on 2𝝅. Otetaan käyttöön kulman yksikkö radiaani, jossa 2𝝅 rad = 360°.
Kaikki edellä olleet sinin ja kosinin ominaisuudet pätevät myös, kun kulman yksikkönä on radiaani.
Esimerkki 1
Määritä väliltä [0,2𝝅] ne kulmat, joilla on sama arvo kuin
Sinin ja kosinin jakso on 2𝝅, eli 2𝝅 välein sini ja kosini saa saman arvon. Tämän lisäksi sini saa saman arvon suplementtikulmilla ja kosini vastakulmilla.
a) sin(𝝅/4)=sin(𝝅-𝝅/4), eli kulma, jolla sini saa saman arvon kuin kulmalla 𝝅/4 on
b) cos(2𝝅/5)=cos(-2𝝅/5) ja jaksollisuuden mukaan cos(-2𝝅/5)=cos(-2𝝅/5+2𝝅), kulma jolla kosini saa saman arvon kuin kulmalla 2𝝅/5 on
c) 𝝅-𝝅/2=𝝅/2, eli kulma ja suplementtikulma on sama. 𝝅/2 radiaania on 90°. Tässä sinin arvo on 1 ja välillä [0,2𝝅] sini saa arvon 1 vain tällä kulmalla.
Esimerkki 6
Määritä kosinin arvo, kun tiedetään että
Käytetään trigonometrian peruskaavaa ja sijoitetaan siihen sinin arvo.
Kulma sijaitsee välillä [𝝅/2,𝝅], joten kosini on negatiivinen. Eli vastaus on
Sinin ja kosinin välinen yhteys
Viereisessä suorakulmaisessa kolmiossa
Tämä pätee kaikille kulmille 𝛼. Tällöin radiaanien avulla lausuttuna.
Tangentti
Suunnatun kulman tangentti on sini jaettuna kosinilla. Jakajana ei voi olla nolla, joten tangentti ei ole määritelty kulmilla, joilla kosinin arvo on 0. Kosini on nolla kulmilla 𝝅/2 ja -𝝅/2 sekä näiden monikerroilla. Tangentti on siis määritelty, kun
Tangentin jakso on 𝝅
Harjoituksia
Harjoituksia
1. Piirrä yksikköympyrä ja merkitse siihen kehäpisteet, jotka vastaavat kulmia
a) 𝝅/3
b) 3𝝅/2
c) 𝝅/2
d) -5𝝅/3
Vihje
(cos(𝛼),sin(𝛼))
2. Määritä arvot ilman teknisiä apuvälineitä. Voit käyttää taulukoista löytyviä tarkkoja arvoja apunasi.
a) sin ( 7𝝅/2)
b) sin(16𝝅/3)
c) cos(7𝝅/4)
d) cos(350𝝅)
Vihje
Ilmoita kulma jakson avulla.
3. Sievennä
a) sin(𝝅/3)+cos(𝝅/3)
b) sin(3𝝅/2)-cos(3𝝅/2)
c) sin(𝝅/2)+cos(0)-cos(𝝅)
d) -5sin(𝝅)+5cos(𝝅/2)
Vihje
Tarkat arvot löytyvät taulukoista.
4. Määritä cos(𝛼) ilman laskinta, kun
a) sin(𝛼)=-0,4
b) sin(𝛼)=1/2
Vihje
Trigonometrian peruskaava.
5. Määritä sin(𝛼) ilman laskinta, kun
a) cos(𝛼)=-0,2
b) cos(𝛼)=1/2
Vihje
Trigonometrian peruskaava.
6. Määritä sin(𝛼) ja cos(𝛼), kun
Vihje
Trigonometrian peruskaava. Yhtälöpari.
7. Kaksinkertaisille kulmille pätee kaavat (Taulukkokirjassa on useita siniin ja kosiniin liittyviä kaavoja)
Vihje
Käytä trigonometrian peruskaavaa apuna.
Tiedetään, että sin(𝛼)=3/5. Määritä ilman laskinta tarkka arvo
a) sin(2𝛼)
b) cos(2𝛼)
8. Osoita, että
Vihje
Muokkaa yhtälön molemmat puolet samoiksi
9. Tasakylkisen kolmion kantakulman sini on 1/3. Laske huippukulman kosinin tarkka arvo ja kolmidesimaalinen likiarvo.
YO kevät 1999
Vihje
Jos kantakulmat on 𝛼, mikä on huippukulma?
Ratkaise edellinen tehtävä ilman laskinta. Tehtävän ratkaisussa voi käyttää summakaavoja
10. Kolmion kulmille α, β ja γ pätee sinαsinβ = cos γ. Osoita, että kolmio on suorakulmainen.
YO kevät 2003
Vihje
Kolmion kulmien summa. Käytä ylläolevia summakaavoja.
Google Sites
Report abuse