Kompleksiluvut

Joitain lukujoukkoja pidetään ”luonnollisempina” kuin toisia. Kokonaisluvut ja luonnolliset luvut ovat siinä mielessä ”uskottavampia”, että niille löytyy helposti arkielämän vastineita ja käyttötarkoituksia. Rationaaliluvut seuraavat perässä ja irrationaaliluvut ovat jo hieman hankalampia. Huomaa miten nämä ajatellut erot näkyvät myös lukujoukkojen nimissä.

Reaalilukujen on historiallisesti ajateltu olevan olemassa tavalla, jolla kompleksiluvut eivät ole. Tämä näkyy myös siinä, että kompleksilukuja on aiemmin kutsuttu imaginaarisiksi luvuiksi, eli kuvitteellisiksi luvuiksi. Tämä viittaa siihen, että niille ei ole osattu ajatella vastineita todellisessa maailmassa. Kompleksiluvuilla on kuitenkin ollut jo 1500-luvulta alkaen matemaattisia käyttökohteita, joissa ne ovat toimineet hyödyllisinä työkaluina. Pelkkinä työkaluina niitä pidettiinkin muutaman vuosisadan ajan, ennen kuin fysiikassa löydyttiin ilmiöitä, joiden kuvaamisessa kompleksiluvut ovat välttämättömiä.

Reaaliluvuista kompleksilukuihin

Reaalilukuja käyttäessämme olemme tottuneet siihen, että kaikilla polynomiyhtälöillä ei ole ratkaisua. Esimerkiksi toisen asteen yhtälön

ax² + bx + c = 0

vastausten määrä riippuu diskriminantin arvosta

Tämä pätee reaalilukujen joukossa, eli kun x ∈ ℝ

Kompleksiluvut laajentavat lukujoukkoa ja samalla ratkaisuiden määrää. Sellaisillakin polynomiyhtälöillä, joilla ei reaalilukujen joukossa ole yhtään ratkaisua, voi ratkaisu löytyä, kunhan lukujoukko laajennetaan kompleksilukuihin. Tämä on itseasiassa yleinen tulos, joka tunnetaan algebran peruslauseena: jokaisella polynomiyhtälöllä on vähintään yksi ratkaisu kompleksilukujen joukossa.

Lukujoukon laajennus tehdään niin kutsutun imaginaariyksikön i avulla. Imaginaariyksikkö määritellään identiteetillä

i²≡ −1

Nyt jos otamme kaksi muuttujaa, joista jälkimmäinen kuuluu kompleksilukujen joukkoon

x ∈ ℝ

z ∈ ℂ

sekä yhtälöt

x² = −1

z² = −1

ei ylemmällä yhtälöllä ole ratkaisua, mutta alemman yhtälön ratkaisu on

z = ±i

Jokainen kompleksiluku voidaan esittää kahden reaaliluvun a, b avulla muodossa

z = a + bi

Luvun z reaaliosa on a ja sen imaginaariosa on b. Kyseessä on reaaliluku, joss b = 0. Jokaista reaalilukua kohden on siis ääretön määrä kompleksilukuja, yksi jokaiselle b:n arvolle.

Esimerkki 1

Ratkaise yhtälö

Ratkaisu: käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Reaalilukujen joukossa yhtälöllä ei ole ratkaisuja, mutta kompleksilukujen joukossa niitä on kaksi.

Monissa laskuissa hyödyllinen tulos imaginaariyksikön käänteisluvulle

Imaginaariyksikön käänteisluku on siis samalla sen vastaluku.

Todetaan vielä lopuksi pieni varoitus imaginaariyksikön käytöstä. Määritelmä

i²≡ −1

kirjoitetaan usein neliöjuuren avulla:

Tämän merkinnän kanssa täytyy kuitenkin olla tarkkana, sillä se voi johtaa virheellisiin päätelmiin. Esimerkiksi seuraava päättely on virheellinen

Ongelma on neliöjuurifunktion määrittelyehdoissa, jotka ovat kompleksiluvuille erilaiset kuin reaaliluvuille. Jos mahdollista, tarkista aina käyttämäsi tulokset jostakin lähteestä ennen kuin käytät niitä varmistaaksesi ettei tällaisia virheitä synny.

(Tulos 1/i = −i pätee aina.)

Kompleksilukujen laskutoimitukset

Koska kompleksiluvut voidaan esittää reaalilukujen (ja imaginaariyksikön) avulla, niiden laskusäännöt seuraavat suoraan reaalilukujen laskusäännöistä. Tarkastellaan niitä tässä kahden yleisen kompleksiluvun avulla

z = a + bi

w = c + di

Yhteen- ja vähennyslasku suoritetaan samalla tavoin kuin vektoreilla, eli ”komponenteittain”:

z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

z − w = (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Kerto- ja jakolasku kannattaa tehdä tapauskohtaisesti eikä etsiä valmista laskukaavaa, mutta näytetään tässä näiden idea, jotta se jäisi mieleen.

z · w = (a + bi) · (c + di)

= ac + adi + bci + bdi²

= (ac − bd) + (ad + bc)i

Jakolaskussa halutaan vastaukseen usein reaaliarvoinen nimittäjä, joka saadaan laventamalla

Yleisemmin voidaan todeta kaikille kompleksiluvuille (z, w, v, . . .) samat liitännäisyys- ja vaihdannaisuussäännöt kuin reaaliluvuille

Kompleksiluvut koordinaatistossa

Reaaliluvut voidaan esittää yksiulotteisella lukusuoralla. Kompleksilukujen graafinen esitys edellyttää kaksi ulottuvuutta, sillä meidän saada myös imaginaariosa näkyviin. Samalla tavoin kuin kaksiulotteisen vektorit voidaan esittää karteesisessa xy-koordinaatistossa, kompleksiluvut voidaan esittää kompleksitasossa. Kompleksitason vaaka-akseli esittää useimmiten kompleksiluvun reaaliosaa ja pystyosa imaginaariosaa.

Esimerkiksi aiemman yhtälönratkaisuesimerkin ratkaisut

z = 1 ± 2i

Voidaan esittää kompleksitasossa. (Kuva 1)

Koska kompleksilukujen yhteenlasku mukailee vektorien yhteenlaskua, voidaan myös kompleksilukujen summa löytää kompleksitasossa helposti graafisesti. Esimerkiksi äskeisten lukujen summa kummassa tahansa järjestyksessä antaa luvun 2, joka löytyy kompleksitasossa yhdistämällä kompleksilukujen ”paikkavektorit”.

Kuvassa 1 meillä on kaksi kompleksilukua, jotka ovat toistensa peilikuvat reaaliakselin suhteen. Tällaisia lukuja kutsutaan toistensa kompleksikonjugaateiksi, eli liittoluvuiksi. Minkä tahansa kompleksiluvun kompleksikonjugaatin saat vaihtamalla imaginaariosan etumerkin. Merkitsemme kompleksikonjugaattia tässä materiaalissa luvun päälle tulevalla viivalla , jota ei tule sotkea vektoriviivaan.

Kuva 1: Kompleksitaso

Kuva 2: Kompleksilukujen summa.

Kompleksikonjugaatin avulla minkä tahansa kompleksiluvun reaali- ja imaginaariosan saa laskemalla (tarkista tulokset)

Lisäksi esimerkiksi seuraavat tulokset ovat ajoittain hyödyllisiä

Kompleksiluvut napakoordinaateissa

Kompleksilukujen kuvaaminen koordinaatistossa johtaa meidät toisen kätevän lukujen esitystavan äärelle. Käyttämällä kompleksiluvun itseisarvoa (eli sen ”paikkavektorin” pituutta) ja reaaliakselin kanssa muodostuvaa kulmaa eli kompleksiluvun argumenttia, voidaan jokainen kompleksiluku kuvata napakoordinaateissa

Kuva 3: Kompleksiluvun napakoordinaattiesitys

Saamme tämän napakoordinaattiesityksen vielä sievempään muotoon käyttämällä Eulerin lausetta

Eulerin lauseen erikoistapaus on ”matematiikan kauneimmaksi yhtälöksikin” tituleerattu Eulerin identiteetti

e^iπ + 1 = 0

Jokainen kompleksiluku voidaan siis kirjoittaa muodossa

Se kumpaa esitystapaa kannattaa käyttää, riippuu tilanteesta. Tässä muodossa kompleksikonjugaatti on

Itseisarvon ja argumentin ominaisuuksia

Pysähdytään hetkeksi tutkimaan kompleksiluvun suuruutta kuvaavaa itseisarvoa

hieman tarkemmin. Ensinnäkin, jos katsomme kompleksikonjugaatin itseisarvoa (tämän näkee myös suoraan komponenttimuodosta, mutta tehdään todistus tässä yllä olevan yhtälön viimeisen muodon avulla harjoituksen vuoksi):

Konjugaattien itseisarvot ovat siis keskenään yhtä suuret.

Toinen hyödyllinen tulos on kahden kompleksiluvun tulon itseisarvo:

Samanlainen tulos pätee jakolaskulle:

Kompleksiluvun argumentille (eli postiviivisen x-akselin kanssa muodostuvalle kulmalle, merkitään tässä arg z) pätee puolestaan tulokset:

Merkintä (mod 2π) viittaa siihen, että kunkin luvun argumentti tulee lopuksi palauttaa välille [−π, π] poistamalla tai lisäämällä siihen tarvittava määrä täyskulmia.

Jos haluamme vertailla kahta kompleksilukua keskenään, emme voi reaalilukujen tapaan käyttää epäyhtälöitä kuten

z > w ,

sillä kompleksiluvuilla on sekä reaali- että imaginaariosa. Lukujen itseisarvoja voi sen sijaan vertailla (ne ovat reaalilukuja), joillekin kahdelle luvulle voi siis esimerkiksi olla voimassa:

|z| > |w|

Erityisen hyödyllinen tulos, jonka voi helposti perustella graafisesti (kuten vektoreille), on kolmioepäyhtälö

|z| + |w| ≥ |z + w|

Kuva 4: Kolmioepäyhtälön graafinen perustelu.

Kompleksilukujen sovelluksia

Kompleksiluvuilla on matematiikassa lukuisia erittäin keskeisiä sovelluskohteita. Kompleksianalyysi, eli kompleksiluvuilla tehtävä differentiaalilaskenta tekee monien tärkeiden lauseiden todistamisesta huomattavasti helpompaa ja kompleksitasossa tehtävät laskutoimitukset ovat tärkeitä esimerkiksi lukuteorian tai vaikkapa fraktaalien tutkimuksessa.

Kompleksilukuarvoisten funktioiden derivointi ja integrointi vaatii kuitenkin hieman enemmän paneutumista kuin mihin meillä on aikaa, joten katsotaan yksinkertaisempaa esimerkkiä fysiikasta. Kompleksiluvut ovat keskeisessä osassa luonnon vuorovaikutuksia kuvaavissa kenttäteorioissa ja aivan keskeinen rooli niillä on 1920-luvulla kehitetyssä ja fysiikan maailmankuvaa mullistaneessa kvanttimekaniikassa.

Tutustu kompleksilukujen muodostamiin fraktaaleihin niin kutsutun Mandelbrotin joukon avulla:

Numberphile: www.youtube.com/watch?v=NGMRB4O922I

Kvanttimekaniikan alkeita

Kompleksiluvut ovat käyneet läpi hankalan historian. Pian niiden löytymisen jälkeen René Descartes antoi niille nimen imaginaariset (eli kuvitteelliset) luvut erottaakseen ne ”todellisista” reaaliluvuista. Erilaisista lukujoukoista luonnollisia lukuja pidetään kaikkein ”luonnollisimpina” siitä syystä, että niille löytyy arkielämän vastineita - kappaleita on aina tietty kokonaislukumäärä. Reaaliluvuilla on jo hankalampaa, joskin niillekin löytyy arkisia käyttökohteita mitattavista suureista, kuten esimerkiksi kahden pisteen etäisyys. Kompleksiluvut tuomittiin vuosisatojen ajaksi reaalimaailman ulkopuolelle, sillä ei vielä tiedetty, että niilläkin on fysikaalisia vastineita.

Se missä määrin matemaattiset objektit ”ovat olemassa” sillä perusteella, että niille löytyy käyttöä ja sitä kautta tulkinta luonnontieteiden kuvaamisessa on toinen, joskin erittäin mielenkiintoinen, keskustelu. Lue lisää aiheesta: https://www.maths.ed.ac.uk/ ~v1ranick/papers/wigner.pdf

Kvanttitilat

Kvanttiteoriaa edeltäneitä fysiikan teorioita kutsutaan klassiseksi fysiikaksi. Klassisessa fysiikassa maailman rakennuspalikoina toimivat hiukkaset ovat pistemäisiä biljardipallon omaisia partikkeleja, joiden ominaisuudet ovat samanlaisia kuin kappaleilla. Ne esimerkiksi sijaitsevat yhdessä pisteessä kerrallaan ja niiden niiden energia voi saada mitä tahansa reaalilukuarvoja.

Kvanttimekaniikka muutti kuvausta monella tavalla, mutta käsitellään tässä vain muutamaa keskeistä ideaa ja niitäkin mahdollisimman yksinkertaistetusti. Ensinnäkin moni sellainen mittaus, josta klassisen fysiikan mukaan pitäisi saada tulokseksi jatkuva reaalilukuarvoinen jakauma onkin kvantittunut, eli mittaustulokset saavat vain tiettyjä diskreettejä arvoja. Hiukkasen energian mittaus (tietyissä tilanteissa) on tästä hyvä esimerkki.

Toinen huomattavasti enemmän mielikuvitusta venyttävä ominaisuus tunnetaan nimellä superpositio. Erwin Schrödinger, toinen kvanttimekaniikan alkuperäisistä keksijöistä, tekaisi yhden fysiikan kuuluisimmista ajatuskokeista, jossa havaitsijalta piilotettu kissa voi kvanttimekaniikan sääntöjen mukaan olla sekä kuollut että elossa yhtä aikaa. Tämä vaikuttaa aluksi järjenvastaiselta, sillä olemme tottuneet näkemään kissoja elossa ja mahdollisesti kuolleena, mutta emme molempia samanaikaisesti. Mutta tarkemmin katsottuna väitteessä on porsaanreikä, sillä emme tietenkään ole tottuneet näkemään havaitsijalta piilotettuja kissoja.

Schrödingerinkin kissa on elävä tai kuollut silloin, kun se havaitaan. Mutta niin kauan kuin havaintoa ei tehdä, on se kvanttimekaniikan mukaisesti jotain tältä väliltä. Kyse ei ole siitä, että kissa olisi jompaa kumpaa jollakin todennäköisyydellä, mutta emme vain tiedä kummassa tilassa se on ennen kuin katsomme sen laatikkoon. Kissa on molempia, ja tällä on havaittavissa olevia vaikutuksia. Sanotaan, että kissa on näiden kahden tilan superpositiossa. Katsotaan nyt mitä sillä tarkoitetaan, sillä meillä on vihdoin käytössämme riittävät välineet: kompleksiluvut ja matriisit.

Otetaan käyttöön mahdollisimman yksinkertainen luonnosta löytyvä systeemi. Yksittäisellä elektronilla on magnetismiin liittyvä ominaisuus, jota kutsutaan spiniksi. Spinin voidaan ajatella kertovan hiukkasen pyörimisakselin suunnan ja sen mahdolliset arvot ovat kvantittuneet siten, että se voi osoittaa vain kahteen vastakkaiseen suuntaan - valitaan ne tässä olemaan ylös ja alas. Jos ajattelet elektronin pienenä pallona, se voisi siis pyöriä joko myötä- tai vastapäivään silloin kun tämä ominaisuus mitataan.

Spin viittaa elektronin pyörimiseen, joskin oikeasti elektroni ei pyöri, vaan sillä on pyörimättäkin sellaiset magneettiset ominaisuudet, jotka pyörivällä sähköisesti varatulla kappaleella olisi. Spin on elektronin ominaisuus samalla tavoin kuin sen massa.

Merkitään näitä ylös- ja alas-tiloja kvanttimekaniikalle ominaisella merkintätavalla:

Jos mittaamme elektronin tilan, tuloksena on jompi kumpi ylläolevista tiloista. Mutta silloin, kun emme mittaa elektronin tilaa, se on yleisessä tapauksessa näiden kahden superpositiossa:

missä vasemmalla olevalla symbolilla kuvaamme ”elektronin tilaa” ja oikealla olevat kertoimet α ja β ovat tietynlaiset painokertoimet ylös ja alas-tiloille. Niitä kutsutaan todennäköissyysamplitudeiksi ja ne kertovat meillä millä todennäköisyydellä elektroni kullakin hetkellä löytyy annetusta tilasta, jos se mitataan. Todennäköisyysamplitudit ovat kompleksilukuja ja niiden avulla tiloja vastaavat todennäköisyydet ovat

Oleellista on, että ennen mittausta elektroni on tilojen superpositiossa - kissa on elävä ja kuollut. Klassisessa fysiikassa näin ei koskaan ole.

Esimerkki 2

Millä todennäisyydellä tilan

mittauksesta saataisiin tulokset ylös tai alas? Varmista, että todennäköisyyksien summa on järkevä sillä oletuksella, että tulos on aina jompi kumpi näistä vaihtoehdoista.

Ratkaisu: Todennäköisyydet ovat amplitudien neliöt

Todennäköisyyksien summa on

P(ylös) + P(alas) = 1

niin kuin pitääkin.

Äskeisessä (täysin keksityssä) esimerkissä kompleksilukujen argumentin sisältävät vaihetekijät kumoutuvat todennäköisyyttä laskettaessa, joten ne eivät vaikuta ennusteisiin todennäköisyyksistä. Tällä kompleksiosalla on kuitenkin oleellinen merkitys esimerkiksi silloin, kun tarkastellaan tilojen muutoksia yhdestä tilasta toiseen tai kun tarkastellaan miten kaksi tilaa liittyvät toisiinsa. Kvanttimekaniikkaa ei siis voi tehdä ilman kompleksilukuja.

Matriisiesitys ja mittaukset

Yksi kätevä erilaisten tilojen ja niihin liittyvien mittausten esitystapa on matriisien avulla. Ainoa ero aiempaan matriiseista oppimaamme on, että nyt matriisien alkiot ovat kompleksilukuja. Tällainen matriisi voisi olla siis esimerkiksi

Yllä olevat ylös- ja alas-tilat voidaan esittää esimerkiksi näin:

Aiemmassa esimerkissä nähty superpositio olisi siten tässä matriisiesityksessä muotoa:

Nyt voimme määritellä myös tällaisen tilan konjugaatin. Matriisimuodossa ei voida käyttää pelkkää kompeksikonjugointia, sillä haluamme, että esimerkiksi tilan ja sen konjugaatin tulo on määritelty (mitä tämä tarkoittaa matriisitulossa rivi- ja sarakevektoreille?). Tästä syystä määrittelemme uuden hermiittisen konjugaatin, joka on yksinkertaisesti kompleksikonjugoinnin ja transpoosin yhdistelmä.

Yllä olevan tilavektorin hermiittinen konjugaatti merkitään näin:

Pistetuloa vastaava kahden kompleksivektorin sisätulo on näillä merkinnöillä:

Kuten laskusta näkyy, ylös- ja alas-tilojen esitykset ovat sellaiset, että niiden sisätulosta (pistetulosta) tulee nolla, eli ne ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tilan itseisarvon suuruus on yksi, eli se on yksikkövektori kompleksitasossa.

Fysiikassa meitä kiinnostavat usein erilaiset mittaukset, joita tiloille voi tehdä. Mittauksia kuvataan kvanttiteoriassa operaattoreilla ja niillekin on omat matriisiesityksensä. Kun operaattori operoi sopivaan tilaan (niin kutsuttuun operaattorin ominaistilaan), se palauttaa mittaustuloksen arvon (niin kutsutun ominaisarvon). Jos meillä olisi vaikkapa energiaoperaattori Ĥ sekä energian ominaistila, jonka energia on 3, näyttäisi operaatio tältä:

Tällaisten fysikaalisia mittaustuloksia antavien operaattoreiden matriisiesityksistä tarvitsee oikeastaan tietää vain yksi asia: matriisit ovat aina hermiittisiä, eli hermittiinen konjugaatti on identiteettioperaatio:

Tämä takaa sen, että mittaustulokset, eli matriisin ominaisarvot, ovat reaalisia (eivätkä kompleksilukuja). Voit tarkistaa itse, että esimerkiksi yllä nähty matriisi A on hermiittinen matriisi.

Katsomme tässä vain yksinkertaisinta tapausta, jossa mittausta esittävä matriisi on sekä reaalinen että diagonaalinen, eli esimerkiksi

Tällöin mahdolliset mittaustulokset näkyvät suoraan sen diagonaalilta. Operoidaanpa tällä matriisilla sen ominaistiloihin, eli jo nähtyihin ylös- ja alas-tiloihin:

Ylös-tilan ominaisarvo on 2 ja alas-tilan ominaisarvo on 3.

Jos meillä on jokin näiden kahden tilan superpositio, emme tiedä minkä tuloksen yllä oleva mittaus antaisi. Voimme kuitenkin ennustaa mittauksen odotusarvon eli tilojen todennäköisyyksillä painotetun keskiarvon mahdollisista mittaustuloksista. Esimerkiksi aiemmin käyttämässämme superpositiotilassa

ylös-tilan todennäköisyys on ⅓ ja alas-tilan todennäköisyys on ⅔. Jos siis operoisimme tähän tilaan yllä olevalla matriisilla, olisi tulos:

Näiden avulla mittauksen odotusarvoksi saadaan

Yleisemmin minkä tahansa mittauksen odotusarvo saadaan laskettua matriisitulona:

Tämä toimii myös silloin, kun matriisi ei ole valmiiksi diagonaalimuodossa. Voit tarkistaa, että yllä olevan laskun tiloilla ja matriisitulolla odotusarvoksi tulee todellakin 8/3 .

Yllä esitetty tapa laskea kvanttitilojen ominaisuuksia matriisiesitysten avulla on osa Werner Heisenbergin vuonna 1925 kehittämää matriisimekaniikkaa. Erwin Schrödinger kirjoitti seuraavana vuonna toisen yhtä onnistuneen, aaltomekaniikkana tunnetun, version kvanttimekaniikasta. Aaltomekaniikassa matriisiesitysten paikalla on funktioita, joiden aikakehitystä kuvaavat yhtälöt ovat kompleksilukuarvoisia differentiaaliyhtälöitä. Heisenberg ja Schrödinger kirjoittivat teoriansa toisistaan riippumatta ja vasta myöhemmin osoittautui, että ne kuvaavat itseasiassa täsmälleen samoja laskuja eri tavoilla. Tämän jälkeen ne ovat kulkeneet yhdessä kvanttimekaniikan nimellä.

Werner Heisenberg 1901 - 1976

Kuva: Friedrich Hund, Creative Commons Attribution 3.0 Unported

Harjoituksia

1. Laske kompleksilukujen

z = 4 − 2i

w = −1 + 3i

laskutoimitukset

Vihje

Käytä reaalilukujen laskusääntöjä reaaliosalle ja imaginaariosalle erikseen.

2. Laske kompleksilukujen

z = −3 + 4i

w = 2 − i

laskutoimitukset

Vihje

Voit halutessasi käyttää myös napakoordinaattiesitystä

3. Osoita, että kompleksiluku on puhtaasti imaginaarinen, joss

Vihje

Kirjoita yleinen kompleksiluku ja osoita implikaatio molempiin suuntiin.

4. Osoita kompleksikonjugaattien laskusäännöt oikeiksi

Vihje

Käytä yleisiä kompleksilukuja reaalilukukertoimilla joko karteesisessa- tai polaarimuodossa.

5. Näytä Eulerin lauseen avulla, että trigonometriset funktiot voidaan kirjoittaa käyttämällä kompleksiarvoisia eksponenttifunktio

Vihje

Sijoita Eulerin lause trigonometristen funktioiden avulla yhtälöiden oikealle puolelle.

6. Muuta seuraavat kompleksiluvut napakoordinaattiesitykseen

Vihje

Käytä itseisarvon ja argumentin määritelmiä ja ota huomioon argumentin määrittelyväl

7. Muuta seuraavat kompleksiluvut karteesiseen esitykseen

Vihje

Käytä trigonometristen funktioiden tarkkoja arvoja, jotka löytyvät esimerkiksi taulukkokirjoista.

8. Esitä kompleksiluvut kompleksitasossa

Vihje

Mieti itseisarvon ja argumentin merkitys ja opettele piirtämään esimerkiksi Geogebralla.

9. Osoita, että kompleksiluvuille pätee kolmioepäyhtälö

Vihje

Aloita korottamalla epäyhtälö neliöön ja muokkaamalla sen oikeaa puolta. Huomaa lisäksi, että jokainen kompleksiluku on vähintään yhtä suuri kuin sen reaaliosa (tai imaginaariosa).

käyttämällä aputulosta

10. Oletetaan, että hiukkasella on jonkin ominaisuuden suhteen kolme mahdollista tilaa, joista se voi löytyä, kun tämä ominaisuus mitataan. Yleisessä tapauksessa hiukkanen on näiden kolmen superpositiossa. Mikä alla olevista hiukkasista (a, b, c) löytyy todennäköisimmin kustakin tilasta 1, 2 ja 3?

Vihje

Todennäköisyys on suurin silloin, kun todennäköisyysamplitudin itseisarvo on suurin.

11. Hiukkanen on kahden tilan superpositiossa

Vihje

Muista, että hiukkanen löytyy jommasta kummasta tilasta todennäköisyydellä yksi.

missä a on jokin kompleksiluku. Millä a:n arvolla todennäköisyys löytää hiukkanen kummasta tahansa tilasta on yhtä suuri?

12. Hiukkanen on kahden tilan superpositiossa, joka voidaan esittää kahden vektorin avulla

Vihje

Odotusarvo on mittaustulosten todennäköisyyksillä painotettu keskiarvo mahdollisista mittaustuloksista.

Mitataan jotakin hiukkasen ominaisuutta, johon liittyvä mittaus voidaan esittää matriisina

Mikä on tämän mittauksen odotusarvo?

13. Osoita, että matriisi H on hermiittinen

Vihje

Osoita, että matriisin kompleksikonjugaatin transpoosi on alkuperäinen matriisi.

14. Etsi sellainen matriisi K, joka kääntää ylös-tilan alas-tilaksi ja päinvastoin, eli tekee muutokset

Vihje

Aloita yleisestä 2×2 -matriisista tuntemattomilla (kompleksiluku- )alkioilla ja etsi tuntemattomien arvot annettujen ehtojen avulla.

Osoita lisäksi, että löytämäsi K on hermiittinen ja että sille pätee

15. Vektorien ortogonaalisiin kuvauksiin tutustuttiin aiemmin ortogonaalisten matriisien kohdalla. Ortogonaalisten kuvausten yleistys kompleksilukuihin ovat unitaariset kuvaukset, jotka voidaan esittää unitaarisilla matriiseilla. Ortogonaalinen kuvaus säilyttää reaaliarvoisten vektorien pistetulon suuruuden, unitaariset kuvaukset säilyttävät kompleksiarvoisten vektorien sisätulon suuruuden.

Ortogonaalisille matriiseille pätee:

Vihje

b) kirjoita potenssi tulona ja lisää jokaiseen väliin yksikkömatriisi sopivassa muodossa.